ID: 00014614
Угол наклона плоскости к горизонту равен $30°$. Вверх по этой плоскости тащат ящик массой $m = 90$ кг, прикладывая к нему силу, направленную параллельно плоскости и равную $F = 600$ Н. Определите коэффициент полезного действия наклонной плоскости.
Ответ дайте в процентах.
Источник: Сборник Гиголо
КПД любого простого механизма — это «сколько полезного получили, разделить на сколько всего вложили». Наклонная плоскость нужна, чтобы поднять груз на высоту, значит полезная работа — это работа по подъёму груза на высоту: $A_{пол} = mgh$. А затраченная работа — это работа нашей силы $F$, которой мы тащим ящик вдоль плоскости: $A_{затр} = F\cdot L$, где $L$ — длина пройденного пути по плоскости. Хитрость в том, что само $L$ нам не дадут — и не надо: оно сократится.
Когда ящик проехал расстояние $L$ вдоль наклонной плоскости, он поднялся на высоту $h = L\sin\alpha$ (это та же геометрия, что синус угла в прямоугольном треугольнике: противолежащий катет — высота, гипотенуза — путь вдоль плоскости).
Подставляем в формулу КПД и видим, как уходит $L$:
$\eta = \dfrac{A_{пол}}{A_{затр}} = \dfrac{mgh}{F\cdot L} = \dfrac{mg\,L\sin\alpha}{F\cdot L} = \dfrac{mg\sin\alpha}{F}.$
Берём $g = 10$ м/с² и $\sin 30° = 0{,}5$:
$\eta = \dfrac{90\cdot 10\cdot 0{,}5}{600} = \dfrac{450}{600} = 0{,}75.$
Переводим в проценты: $0{,}75 = 75\%$.