ID: 00014595
Автомобиль, движущийся с выключенным двигателем, на горизонтальном участке дороги имеет скорость $v_0 = 30$ м/с. Затем автомобиль стал перемещаться вверх по склону горы под углом $30^\circ$ к горизонту. Какой путь он должен пройти по склону, чтобы его скорость уменьшилась до $v = 20$ м/с? Трением пренебречь.
Ответ дайте в метрах.
Источник: Сборник Гиголо
Двигатель выключен, трения нет — значит, машину тормозит только подъём в гору. Поднимаясь, автомобиль «обменивает» свою скорость на высоту: чем выше заехал, тем медленнее едет. Это чистый закон сохранения энергии, без всяких сил по отдельности.
Часть кинетической энергии перешла в потенциальную. Запишем сохранение энергии, поднявшись на высоту $h$:
$$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + mgh.$$
Масса сокращается, и высота получается:
$$h = \frac{v_0^2 - v^2}{2g} = \frac{30^2 - 20^2}{2 \cdot 10} = \frac{900 - 400}{20} = 25 \text{ м}.$$
Но нас спрашивают не высоту, а путь $s$ вдоль наклонной дороги. Склон — это как горка-«треугольник»: при движении на расстояние $s$ под углом $30^\circ$ тело поднимается на $h = s \sin 30^\circ$. Значит:
$$s = \frac{h}{\sin 30^\circ} = \frac{25}{0{,}5} = 50 \text{ м}.$$
Главный подвох именно здесь: высота и пройденный путь — это разные вещи, их связывает $\sin$ угла наклона. Забудешь про синус — получишь 25 вместо 50.