ID: 00014594
С высоты $H = 5$ м бросают вертикально вверх с начальной скоростью $v_0 = 2$ м/с тело малых размеров массой $m = 0{,}2$ кг. Найдите, на какую глубину тело входит в грунт при падении на Землю, если средняя сила сопротивления грунта движению тела равна $F = 208$ Н. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ дайте в сантиметрах.
Источник: Сборник Гиголо
Тело сначала летит в воздухе (там сопротивления нет), а потом «врезается» в грунт и углубляется, тормозя. Удобно работать энергией. Соберём весь запас энергии у тела к моменту удара о землю, а потом посмотрим, какой путь в грунте нужен, чтобы этот запас полностью «погасить».
Отсчитываем энергию от уровня земли. Наверху, в точке броска, тело имело высоту $H$ и скорость $v_0$, то есть полный запас $mgH + \frac{mv_0^2}{2}$. Пока тело летит в воздухе, потерь нет, поэтому ровно столько энергии оно и принесёт к земле:
$$E = mgH + \frac{mv_0^2}{2} = 0{,}2 \cdot 10 \cdot 5 + \frac{0{,}2 \cdot 2^2}{2} = 10 + 0{,}4 = 10{,}4 \text{ Дж}.$$
Пусть тело входит на глубину $d$ и там останавливается. Пока оно идёт вглубь, тяжесть ещё чуть-чуть помогает (добавляет $mgd$), а сила сопротивления грунта тормозит (отнимает $Fd$). В итоге всё движение гасится:
$$E + mgd = F d \quad\Rightarrow\quad E = (F - mg)\,d.$$
$$d = \frac{E}{F - mg} = \frac{10{,}4}{208 - 0{,}2 \cdot 10} = \frac{10{,}4}{206} \approx 0{,}05 \text{ м} = 5 \text{ см}.$$
Сила сопротивления огромная (208 Н) по сравнению с весом тела (всего 2 Н), поэтому тело почти сразу вязнет — глубина крошечная, всего пять сантиметров. Логично.