ID: 00014571
Доска массой $0{,}4$ кг шарнирно подвешена к потолку на лёгком стержне. На доску со скоростью $10$ м/с налетает пластилиновый шарик и прилипает к ней (см. рисунок). Скорость шарика перед ударом направлена под углом $60°$ к нормали к доске. Кинетическая энергия системы тел после соударения равна $0{,}25$ Дж. Определите массу шарика.
Ответ дайте в килограммах.
Источник: Сборник Гиголо
Удар неупругий (шарик прилипает) — импульс сохраняется, энергия нет. Доска на стержне ходит только по нормали, поэтому работает нормальная часть скорости шарика. Зная итоговую кинетическую энергию, раскрутим цепочку назад и найдём массу.
$$v_n = v\cos 60° = 10\cdot 0{,}5 = 5\text{ м/с}$$
Пусть $m$ — масса шарика, $M=0{,}4$ кг — доска. Общая скорость после слипания:
$$u = \frac{m v_n}{M+m} = \frac{5m}{0{,}4+m}$$
$$E_к = \frac{(M+m)u^2}{2} = \frac{(0{,}4+m)}{2}\cdot\left(\frac{5m}{0{,}4+m}\right)^2 = \frac{25 m^2}{2(0{,}4+m)} = 0{,}25$$
Отсюда $25 m^2 = 0{,}5(0{,}4+m)$, то есть $250 m^2 - 5m - 2 = 0$. Корень (берём положительный):
$$m = \frac{5 + \sqrt{25 + 2000}}{500} = \frac{5+45}{500} = 0{,}1\text{ кг}$$