Задание 26 ЕГЭ по физике №00014349

Дано:

шар 1: брошен в $t=0$ со скоростью $v_0$ под углом $\alpha$ с земли; $\;$ шар 2: одновременно падает из покоя с некоторой высоты; $\;$ удар абсолютно неупругий, после удара скорость горизонтальна; $\;$ оба падают на землю в момент $t$; массы равны

Найти:

$\alpha$ — угол броска первого шарика

Обоснование:

Считаем в инерциальной системе отсчёта, связанной с Землёй. Шарики маленькие — это материальные точки. До и после удара на каждый действует только сила тяжести (воздух не мешает), значит движение равноускоренное с ускорением $g$. Сам удар абсолютно неупругий и очень короткий: за миг удара сила тяжести даёт ничтожный импульс по сравнению с силами взаимодействия шариков, поэтому в момент удара выполняется закон сохранения импульса системы.

Решение:

Пусть удар произошёл в момент $\tau$. К этому мигу скорости шариков такие. Первый: $v_{1x}=v_0\cos\alpha$, $\;v_{1y}=v_0\sin\alpha-g\tau$. Второй (падал из покоя): $v_{2x}=0$, $\;v_{2y}=-g\tau$.

Массы равны, удар неупругий — тела слипаются, и их общая скорость равна полусумме: $\vec u=\dfrac{\vec v_1+\vec v_2}{2}$. По вертикали:

$u_y=\dfrac{(v_0\sin\alpha-g\tau)+(-g\tau)}{2}=\dfrac{v_0\sin\alpha-2g\tau}{2}.$

По условию сразу после удара скорость горизонтальна, значит $u_y=0$:

$v_0\sin\alpha=2g\tau\;\Rightarrow\;\tau=\dfrac{v_0\sin\alpha}{2g}.$

Почему так получилось, видно сразу: к моменту удара первый шарик летит вверх со скоростью $v_{1y}=v_0\sin\alpha-g\tau=g\tau$, а второй вниз с такой же $g\tau$. Равные и противоположные — при слипании вертикаль гасится, ком летит горизонтально.

Найдём высоту, на которой произошёл удар (это высота первого шарика в момент $\tau$), и используем $v_0\sin\alpha=2g\tau$:

$y_c=v_0\sin\alpha\cdot\tau-\dfrac{g\tau^2}{2}=2g\tau\cdot\tau-\dfrac{g\tau^2}{2}=\dfrac{3}{2}\,g\tau^2.$

После удара ком летит горизонтально и просто падает с высоты $y_c$ за оставшееся время $(t-\tau)$:

$y_c=\dfrac{g(t-\tau)^2}{2}.$

Приравниваем оба выражения для $y_c$:

$\dfrac{3}{2}\,g\tau^2=\dfrac{g(t-\tau)^2}{2}\;\Rightarrow\;3\tau^2=(t-\tau)^2\;\Rightarrow\;\sqrt3\,\tau=t-\tau\;\Rightarrow\;\tau=\dfrac{t}{1+\sqrt3}.$

Осталось вернуть угол. Из $v_0\sin\alpha=2g\tau$:

$v_0\sin\alpha=\dfrac{2gt}{1+\sqrt3}=(\sqrt3-1)\,gt\;\Rightarrow\;\sin\alpha=\dfrac{(\sqrt3-1)\,gt}{v_0}.$

(Здесь использовали $\dfrac{2}{1+\sqrt3}=\sqrt3-1$.) Итог: $\alpha=\arcsin\dfrac{(\sqrt3-1)\,gt}{v_0}$. Множитель $\sqrt3-1\approx0{,}73$. Если, к примеру, $v_0=12$ м/с и $\alpha=60^\circ$, отсюда получится $\tau\approx0{,}52$ с и падение после удара $\approx0{,}9$ с — вполне реалистичные числа.