Дано:

шар 1: брошен в t=0 со скоростью v_0 под углом \alpha с земли; \; шар 2: одновременно падает из покоя с некоторой высоты; \; удар абсолютно неупругий, после удара скорость горизонтальна; \; оба падают на землю в момент t; массы равны

Найти:

\alpha — угол броска первого шарика

Обоснование:

Считаем в инерциальной системе отсчёта, связанной с Землёй. Шарики маленькие — это материальные точки. До и после удара на каждый действует только сила тяжести (воздух не мешает), значит движение равноускоренное с ускорением g. Сам удар абсолютно неупругий и очень короткий: за миг удара сила тяжести даёт ничтожный импульс по сравнению с силами взаимодействия шариков, поэтому в момент удара выполняется закон сохранения импульса системы.

Решение:

Пусть удар произошёл в момент \tau. К этому мигу скорости шариков такие. Первый: v_{1x}=v_0\cos\alpha, \;v_{1y}=v_0\sin\alpha-g\tau. Второй (падал из покоя): v_{2x}=0, \;v_{2y}=-g\tau.

Массы равны, удар неупругий — тела слипаются, и их общая скорость равна полусумме: \vec u=\dfrac{\vec v_1+\vec v_2}{2}. По вертикали:

u_y=\dfrac{(v_0\sin\alpha-g\tau)+(-g\tau)}{2}=\dfrac{v_0\sin\alpha-2g\tau}{2}.

По условию сразу после удара скорость горизонтальна, значит u_y=0:

v_0\sin\alpha=2g\tau\;\Rightarrow\;\tau=\dfrac{v_0\sin\alpha}{2g}.

Почему так получилось, видно сразу: к моменту удара первый шарик летит вверх со скоростью v_{1y}=v_0\sin\alpha-g\tau=g\tau, а второй вниз с такой же g\tau. Равные и противоположные — при слипании вертикаль гасится, ком летит горизонтально.

Найдём высоту, на которой произошёл удар (это высота первого шарика в момент \tau), и используем v_0\sin\alpha=2g\tau:

y_c=v_0\sin\alpha\cdot\tau-\dfrac{g\tau^2}{2}=2g\tau\cdot\tau-\dfrac{g\tau^2}{2}=\dfrac{3}{2}\,g\tau^2.

После удара ком летит горизонтально и просто падает с высоты y_c за оставшееся время (t-\tau):

y_c=\dfrac{g(t-\tau)^2}{2}.

Приравниваем оба выражения для y_c:

\dfrac{3}{2}\,g\tau^2=\dfrac{g(t-\tau)^2}{2}\;\Rightarrow\;3\tau^2=(t-\tau)^2\;\Rightarrow\;\sqrt3\,\tau=t-\tau\;\Rightarrow\;\tau=\dfrac{t}{1+\sqrt3}.

Осталось вернуть угол. Из v_0\sin\alpha=2g\tau:

v_0\sin\alpha=\dfrac{2gt}{1+\sqrt3}=(\sqrt3-1)\,gt\;\Rightarrow\;\sin\alpha=\dfrac{(\sqrt3-1)\,gt}{v_0}.

(Здесь использовали \dfrac{2}{1+\sqrt3}=\sqrt3-1.) Итог: \alpha=\arcsin\dfrac{(\sqrt3-1)\,gt}{v_0}. Множитель \sqrt3-1\approx0{,}73. Если, к примеру, v_0=12 м/с и \alpha=60^\circ, отсюда получится \tau\approx0{,}52 с и падение после удара \approx0{,}9 с — вполне реалистичные числа.