ID: 00014346
На двойном фокусном расстоянии от собирающей линзы с оптической силой $10$ дптр на её главной оптической оси расположен точечный источник света. Линза вставлена в непрозрачную оправу радиусом $5$ см. Каков диаметр светлого пятна на экране, расположенном на расстоянии $30$ см от линзы? Сделайте рисунок с указанием хода лучей.
Источник: Досрочный ЕГЭ 2026 (Центр)
$D_0=10$ дптр; $\;$ источник на $2F$ от линзы; $\;r=5$ см (радиус оправы); $\;b=30$ см (до экрана)
$d$ — диаметр светлого пятна
Собирающая линза, наоборот, сводит лучи в точку. Фокус $F=\dfrac{1}{D_0}=\dfrac{1}{10}=0{,}1$ м $=10$ см, а источник стоит ровно на двойном фокусе $2F=20$ см. Есть золотое правило линзы: предмет на $2F$ — изображение тоже на $2F$ по другую сторону. Проверим формулой $\dfrac{1}{F}=\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}$ при $d=2F$:
$\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{F}-\dfrac{1}{2F}=\dfrac{1}{2F}\;\Rightarrow\;f=2F=20\ \text{см}.$
Значит, все лучи, прошедшие линзу, собираются в одну точку на $20$ см за ней.
Оправа радиусом $r=5$ см ограничивает пучок: у самой линзы он широкий (радиус $r$), к изображению на $20$ см сходится в точку, а дальше снова расходится — как песочные часы. Экран стоит на $b=30$ см, то есть на $10$ см ДАЛЬШЕ точки сбора. Радиус светлого кружка там найдём по подобию (пучок сужается от $r$ до нуля на пути $f$, потом расширяется в той же пропорции):
$R=r\cdot\dfrac{b-f}{f}=5\cdot\dfrac{30-20}{20}=2{,}5\ \text{см}.$
Диаметр пятна $d=2R=5$ см. Забавно, что он вышел в точности равным радиусу оправы — так удачно совпали расстояния (экран отстоит от изображения на половину фокуса).
$d=5$ см