ID: 00014346
На двойном фокусном расстоянии от собирающей линзы с оптической силой 10 дптр на её главной оптической оси расположен точечный источник света. Линза вставлена в непрозрачную оправу радиусом 5 см. Каков диаметр светлого пятна на экране, расположенном на расстоянии 30 см от линзы? Сделайте рисунок с указанием хода лучей.
Источник: Досрочный ЕГЭ 2026 (Центр)
D_0=10 дптр; \; источник на 2F от линзы; \;r=5 см (радиус оправы); \;b=30 см (до экрана)
d — диаметр светлого пятна
Собирающая линза, наоборот, сводит лучи в точку. Фокус F=\dfrac{1}{D_0}=\dfrac{1}{10}=0{,}1 м =10 см, а источник стоит ровно на двойном фокусе 2F=20 см. Есть золотое правило линзы: предмет на 2F — изображение тоже на 2F по другую сторону. Проверим формулой \dfrac{1}{F}=\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f} при d=2F:
\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{F}-\dfrac{1}{2F}=\dfrac{1}{2F}\;\Rightarrow\;f=2F=20\ \text{см}.
Значит, все лучи, прошедшие линзу, собираются в одну точку на 20 см за ней.
Оправа радиусом r=5 см ограничивает пучок: у самой линзы он широкий (радиус r), к изображению на 20 см сходится в точку, а дальше снова расходится — как песочные часы. Экран стоит на b=30 см, то есть на 10 см ДАЛЬШЕ точки сбора. Радиус светлого кружка там найдём по подобию (пучок сужается от r до нуля на пути f, потом расширяется в той же пропорции):
R=r\cdot\dfrac{b-f}{f}=5\cdot\dfrac{30-20}{20}=2{,}5\ \text{см}.
Диаметр пятна d=2R=5 см. Забавно, что он вышел в точности равным радиусу оправы — так удачно совпали расстояния (экран отстоит от изображения на половину фокуса).
d=5 см