ID: 00014345
На двойном фокусном расстоянии от рассеивающей линзы с оптической силой -5 дптр на её главной оптической оси расположен точечный источник света. Линза вставлена в непрозрачную оправу радиусом 2 см. Каков диаметр светлого пятна на экране, расположенном по другую сторону линзы на расстоянии 40 см от неё? Сделайте рисунок с указанием хода лучей.
Источник: Досрочный ЕГЭ 2026
D_0=-5 дптр; \; источник на расстоянии 2|F| от линзы; \;r=2 см (радиус оправы); \;L=40 см (до экрана)
d — диаметр светлого пятна на экране
Рассеивающая линза не собирает свет, а раздвигает его в стороны, как горка раскидывает струю воды. Сначала найдём фокусное расстояние из оптической силы (у рассеивающей линзы оно отрицательное, берём по модулю): |F|=\dfrac{1}{|D_0|}=\dfrac{1}{5}=0{,}2 м =20 см. Источник стоит на 2|F|=40 см.
Рассеивающая линза строит мнимое изображение источника — точку E, из которой лучи после линзы кажутся выходящими. Найдём её по формуле тонкой линзы \dfrac{1}{F}=\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}. Подставляем F=-|F| и d=2|F|:
\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{F}-\dfrac{1}{d}=-\dfrac{1}{|F|}-\dfrac{1}{2|F|}=-\dfrac{3}{2|F|}.
Минус говорит, что изображение мнимое и лежит по ту же сторону, что источник, на расстоянии OE=|f|=\dfrac{2|F|}{3}=\dfrac{2\cdot20}{3}\approx13{,}3 см от линзы.
Теперь само пятно. Оправа радиусом r работает как «дырка», сквозь которую проходит свет: за линзой лучи расходятся, словно бьют из точки E. Крайний луч идёт через край оправы — на высоте r. Получается конус с вершиной в E: у самой линзы его радиус равен r, а до экрана от вершины E — расстояние OE+L. По подобию треугольников радиус пятна:
R=\dfrac{r\,(OE+L)}{OE}.
Диаметр вдвое больше; подставив OE=\dfrac{2|F|}{3}, удобно свернуть выражение в
d=2R=\dfrac{r\,(2|F|+3L)}{|F|}=\dfrac{2\cdot(2\cdot20+3\cdot40)}{20}=\dfrac{2\cdot160}{20}=16\ \text{см}.
Пятно 16 см — заметно шире самой оправы (4 см в поперечнике): рассеивающая линза «развела» лучи, и к экрану светлый круг успел разрастись.
d=16 см