Тонкие Линзы (нет… — Задание ЕГЭ по физике №00014345

Дано:

$D_0=-5$ дптр; $\;$ источник на расстоянии $2|F|$ от линзы; $\;r=2$ см (радиус оправы); $\;L=40$ см (до экрана)

Найти:

$d$ — диаметр светлого пятна на экране

Решение:

Рассеивающая линза не собирает свет, а раздвигает его в стороны, как горка раскидывает струю воды. Сначала найдём фокусное расстояние из оптической силы (у рассеивающей линзы оно отрицательное, берём по модулю): $|F|=\dfrac{1}{|D_0|}=\dfrac{1}{5}=0{,}2$ м $=20$ см. Источник стоит на $2|F|=40$ см.

Рассеивающая линза строит мнимое изображение источника — точку $E$, из которой лучи после линзы кажутся выходящими. Найдём её по формуле тонкой линзы $\dfrac{1}{F}=\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}$. Подставляем $F=-|F|$ и $d=2|F|$:

$\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{F}-\dfrac{1}{d}=-\dfrac{1}{|F|}-\dfrac{1}{2|F|}=-\dfrac{3}{2|F|}.$

Минус говорит, что изображение мнимое и лежит по ту же сторону, что источник, на расстоянии $OE=|f|=\dfrac{2|F|}{3}=\dfrac{2\cdot20}{3}\approx13{,}3$ см от линзы.

Теперь само пятно. Оправа радиусом $r$ работает как «дырка», сквозь которую проходит свет: за линзой лучи расходятся, словно бьют из точки $E$. Крайний луч идёт через край оправы — на высоте $r$. Получается конус с вершиной в $E$: у самой линзы его радиус равен $r$, а до экрана от вершины $E$ — расстояние $OE+L$. По подобию треугольников радиус пятна:

$R=\dfrac{r\,(OE+L)}{OE}.$

Диаметр вдвое больше; подставив $OE=\dfrac{2|F|}{3}$, удобно свернуть выражение в

$d=2R=\dfrac{r\,(2|F|+3L)}{|F|}=\dfrac{2\cdot(2\cdot20+3\cdot40)}{20}=\dfrac{2\cdot160}{20}=16\ \text{см}.$

Пятно $16$ см — заметно шире самой оправы ($4$ см в поперечнике): рассеивающая линза «развела» лучи, и к экрану светлый круг успел разрастись.