ID: 00014343
На поверхности Земли силой 2 кН удерживается метеорологический зонд. Зонд отпускают, он поднимается вверх и остаётся на такой высоте, где его объём увеличивается в 2 раза. Температура и давление, измеренные зондом на этой высоте, равны -43\,^\circ\text{C} и 5 кПа соответственно. Найдите общую массу зонда. Давление на поверхности Земли равно 10^5 Па, а температура равна +27\,^\circ\text{C}.
Источник: Досрочный ЕГЭ 2026 (Центр)
F=2 кН =2000 Н; \;V_2=2V_1; \; у земли: p_1=10^5 Па, T_1=27\,^\circ\text{C}=300 К; \; наверху: p_2=5 кПа =5000 Па, T_2=-43\,^\circ\text{C}=230 К
m — общая масса зонда
Это тот же «поплавок в воздухе», что и в задаче про станцию, только спрашивают не давление, а массу. Зонд лёгкий и «пухлый» — воздух выталкивает его сильнее, чем тянет вниз вес, поэтому у земли его держат силой F вниз. Равновесие у поверхности:
F_{\text{А}1}=mg+F.
Зонд отпускают, он всплывает и зависает там, где разрежённый воздух выталкивает ровно с силой веса:
F_{\text{А}2}=mg.
Сила Архимеда F_\text{А}=\rho g V. Делим второе равенство на первое, учитывая, что наверху объём вырос вдвое (V_2=2V_1):
\dfrac{\rho_2\,(2V_1)}{\rho_1 V_1}=\dfrac{mg}{mg+F}\;\Rightarrow\;\dfrac{\rho_2}{\rho_1}=\dfrac{mg}{2(mg+F)}.
Плотность воздуха выражаем через давление и температуру из уравнения Менделеева — Клапейрона \rho=\dfrac{pM}{RT} (молярная масса воздуха сокращается):
\dfrac{\rho_2}{\rho_1}=\dfrac{p_2/T_2}{p_1/T_1}=\dfrac{p_2 T_1}{p_1 T_2}.
Приравниваем и выражаем массу:
\dfrac{p_2 T_1}{p_1 T_2}=\dfrac{mg}{2(mg+F)}\;\Rightarrow\;m=\dfrac{2\,p_2 T_1 F}{g\,(p_1 T_2-2\,p_2 T_1)}.
Подставляем числа (g=10 м/с², температуры в Кельвинах):
m=\dfrac{2\cdot5000\cdot300\cdot2000}{10\cdot(10^5\cdot230-2\cdot5000\cdot300)}=\dfrac{6\cdot10^{9}}{10\cdot(2{,}3\cdot10^{7}-3\cdot10^{6})}=\dfrac{6\cdot10^{9}}{2{,}0\cdot10^{8}}=30\ \text{кг}.
Тридцать килограммов — увесистый зонд, но и держали его немалой силой в 2 кН. Всё сошлось.
m=30 кг