МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00014343

Дано:

$F=2$ кН $=2000$ Н; $\;V_2=2V_1$; $\;$ у земли: $p_1=10^5$ Па, $T_1=27\,^\circ\text{C}=300$ К; $\;$ наверху: $p_2=5$ кПа $=5000$ Па, $T_2=-43\,^\circ\text{C}=230$ К

Найти:

$m$ — общая масса зонда

Решение:

Это тот же «поплавок в воздухе», что и в задаче про станцию, только спрашивают не давление, а массу. Зонд лёгкий и «пухлый» — воздух выталкивает его сильнее, чем тянет вниз вес, поэтому у земли его держат силой $F$ вниз. Равновесие у поверхности:

$F_{\text{А}1}=mg+F.$

Зонд отпускают, он всплывает и зависает там, где разрежённый воздух выталкивает ровно с силой веса:

$F_{\text{А}2}=mg.$

Сила Архимеда $F_\text{А}=\rho g V$. Делим второе равенство на первое, учитывая, что наверху объём вырос вдвое ($V_2=2V_1$):

$\dfrac{\rho_2\,(2V_1)}{\rho_1 V_1}=\dfrac{mg}{mg+F}\;\Rightarrow\;\dfrac{\rho_2}{\rho_1}=\dfrac{mg}{2(mg+F)}.$

Плотность воздуха выражаем через давление и температуру из уравнения Менделеева — Клапейрона $\rho=\dfrac{pM}{RT}$ (молярная масса воздуха сокращается):

$\dfrac{\rho_2}{\rho_1}=\dfrac{p_2/T_2}{p_1/T_1}=\dfrac{p_2 T_1}{p_1 T_2}.$

Приравниваем и выражаем массу:

$\dfrac{p_2 T_1}{p_1 T_2}=\dfrac{mg}{2(mg+F)}\;\Rightarrow\;m=\dfrac{2\,p_2 T_1 F}{g\,(p_1 T_2-2\,p_2 T_1)}.$

Подставляем числа ($g=10$ м/с², температуры в Кельвинах):

$m=\dfrac{2\cdot5000\cdot300\cdot2000}{10\cdot(10^5\cdot230-2\cdot5000\cdot300)}=\dfrac{6\cdot10^{9}}{10\cdot(2{,}3\cdot10^{7}-3\cdot10^{6})}=\dfrac{6\cdot10^{9}}{2{,}0\cdot10^{8}}=30\ \text{кг}.$

Тридцать килограммов — увесистый зонд, но и держали его немалой силой в $2$ кН. Всё сошлось.