ID: 00014342
Метеорологическая станция массой $m=20$ кг удерживается у поверхности Земли силой $F=1$ кН. Затем её отпускают, и она поднимается на высоту $H$. Температура воздуха у поверхности Земли равна $T_1=17\,^\circ\text{C}$, а на высоте $H$ равна $T_2=-23\,^\circ\text{C}$, давление на поверхности Земли равно $p_0=10^5$ Па, а объём станции у поверхности Земли в 2 раза меньше, чем на высоте $H$. Определите давление воздуха $p_1$ на высоте $H$.
Источник: Досрочный ЕГЭ 2026
$m=20$ кг; $\;F=1$ кН $=1000$ Н; $\;T_1=17\,^\circ\text{C}=290$ К; $\;T_2=-23\,^\circ\text{C}=250$ К; $\;p_0=10^5$ Па; $\;V_2=2V_1$
$p_1$ — давление воздуха на высоте $H$
Станция — не воздушный шар, но ведёт себя похоже: воздух выталкивает её вверх силой Архимеда, как вода выталкивает мячик. У земли эта выталкивающая сила настолько велика, что станцию приходится держать вниз силой $F$, иначе улетит. Значит, пока станция у земли и покоится, на неё действуют три силы: вес $mg$ вниз, держащая сила $F$ вниз и Архимед $F_{\text{А}1}$ вверх. Они уравновешены:
$F_{\text{А}1}=mg+F.$
Станцию отпускают — она всплывает, как пузырёк, и зависает на высоте $H$, где воздух разрежённее и Архимед ослаб ровно до веса (держать больше нечем, $F$ убрали):
$F_{\text{А}2}=mg.$
Сила Архимеда — это вес вытесненного воздуха, $F_\text{А}=\rho g V$, где $\rho$ — плотность воздуха, $V$ — объём станции. Разделим второе равенство на первое и подставим $V_2=2V_1$:
$\dfrac{\rho_2 g\,(2V_1)}{\rho_1 g V_1}=\dfrac{mg}{mg+F}\;\Rightarrow\;\dfrac{\rho_2}{\rho_1}=\dfrac{mg}{2(mg+F)}.$
Теперь свяжем плотность воздуха с его давлением и температурой. Воздух — газ, для него работает уравнение Менделеева — Клапейрона, которое удобно записать через плотность: $\rho=\dfrac{pM}{RT}$. Молярная масса воздуха $M$ внизу и наверху одинаковая, поэтому в отношении плотностей она сократится:
$\dfrac{\rho_2}{\rho_1}=\dfrac{p_1/T_2}{p_0/T_1}=\dfrac{p_1 T_1}{p_0 T_2}.$
Приравниваем два выражения для $\dfrac{\rho_2}{\rho_1}$ и выражаем искомое давление наверху:
$\dfrac{p_1 T_1}{p_0 T_2}=\dfrac{mg}{2(mg+F)}\;\Rightarrow\;p_1=\dfrac{p_0\,mg\,T_2}{2(mg+F)\,T_1}.$
Подставляем числа ($g=10$ м/с², температуры обязательно в Кельвинах):
$p_1=\dfrac{10^5\cdot20\cdot10\cdot250}{2\,(20\cdot10+1000)\cdot290}=\dfrac{5\cdot10^{9}}{6{,}96\cdot10^{5}}\approx 7{,}2\cdot10^{3}\ \text{Па}.$
Получилось около $7{,}2$ кПа — наверху воздух разрежён больше чем в десяток раз по сравнению с приземными $100$ кПа. Это логично: чем выше, тем «жиже» атмосфера, и тем слабее она выталкивает.
$p_1\approx 7{,}2\cdot10^3$ Па $\approx 7{,}2$ кПа