Дано:

m=20 кг; \;F=1 кН =1000 Н; \;T_1=17\,^\circ\text{C}=290 К; \;T_2=-23\,^\circ\text{C}=250 К; \;p_0=10^5 Па; \;V_2=2V_1

Найти:

p_1 — давление воздуха на высоте H

Решение:

Станция — не воздушный шар, но ведёт себя похоже: воздух выталкивает её вверх силой Архимеда, как вода выталкивает мячик. У земли эта выталкивающая сила настолько велика, что станцию приходится держать вниз силой F, иначе улетит. Значит, пока станция у земли и покоится, на неё действуют три силы: вес mg вниз, держащая сила F вниз и Архимед F_{\text{А}1} вверх. Они уравновешены:

F_{\text{А}1}=mg+F.

Станцию отпускают — она всплывает, как пузырёк, и зависает на высоте H, где воздух разрежённее и Архимед ослаб ровно до веса (держать больше нечем, F убрали):

F_{\text{А}2}=mg.

Сила Архимеда — это вес вытесненного воздуха, F_\text{А}=\rho g V, где \rho — плотность воздуха, V — объём станции. Разделим второе равенство на первое и подставим V_2=2V_1:

\dfrac{\rho_2 g\,(2V_1)}{\rho_1 g V_1}=\dfrac{mg}{mg+F}\;\Rightarrow\;\dfrac{\rho_2}{\rho_1}=\dfrac{mg}{2(mg+F)}.

Теперь свяжем плотность воздуха с его давлением и температурой. Воздух — газ, для него работает уравнение Менделеева — Клапейрона, которое удобно записать через плотность: \rho=\dfrac{pM}{RT}. Молярная масса воздуха M внизу и наверху одинаковая, поэтому в отношении плотностей она сократится:

\dfrac{\rho_2}{\rho_1}=\dfrac{p_1/T_2}{p_0/T_1}=\dfrac{p_1 T_1}{p_0 T_2}.

Приравниваем два выражения для \dfrac{\rho_2}{\rho_1} и выражаем искомое давление наверху:

\dfrac{p_1 T_1}{p_0 T_2}=\dfrac{mg}{2(mg+F)}\;\Rightarrow\;p_1=\dfrac{p_0\,mg\,T_2}{2(mg+F)\,T_1}.

Подставляем числа (g=10 м/с², температуры обязательно в Кельвинах):

p_1=\dfrac{10^5\cdot20\cdot10\cdot250}{2\,(20\cdot10+1000)\cdot290}=\dfrac{5\cdot10^{9}}{6{,}96\cdot10^{5}}\approx 7{,}2\cdot10^{3}\ \text{Па}.

Получилось около 7{,}2 кПа — наверху воздух разрежён больше чем в десяток раз по сравнению с приземными 100 кПа. Это логично: чем выше, тем «жиже» атмосфера, и тем слабее она выталкивает.