МКТ — Задание 23 ЕГЭ по физике №00013014

Дано:

$\nu_1 = 1 \text{ моль}$, $T_1 = 450 \text{ К}$; $\nu_2 = 2 \text{ моль}$, $T_2 = 300 \text{ К}$; газ — гелий (одноатомный); после смешивания — изобарное расширение $V \to 2V$.

Найти:

Во сколько раз увеличилась внутренняя энергия при переходе из состояния 1 в состояние 2?

Решение:

Состояние 1 — исходный газ ($\nu_1 = 1$ моль, $T_1 = 450$ К):

$$U_1 = \frac{3}{2}\nu_1 R T_1 = \frac{3}{2} \cdot 1 \cdot R \cdot 450 = 675R$$

Смешивание газов (теплоизолированный сосуд под поршнем, процесс изобарный при смешивании). Суммарная внутренняя энергия сохраняется:

$$U_1' + U_2' = U_{\text{смесь}}$$

$$\frac{3}{2}R(1 \cdot 450 + 2 \cdot 300) = \frac{3}{2}(\nu_1 + \nu_2)R \cdot T_{\text{смесь}}$$

$$\frac{3}{2}R \cdot 1050 = \frac{3}{2} \cdot 3 \cdot R \cdot T_{\text{смесь}}$$

$$T_{\text{смесь}} = \frac{1050}{3} = 350 \text{ К}$$

Изобарное расширение (объём увеличивается в 2 раза, $p = \text{const}$):

При изобарном процессе $\frac{V}{T} = \text{const}$:

$$\frac{V_2}{T_{\text{смесь}}} = \frac{2V_2}{T_2} \Rightarrow T_2 = 2 \cdot T_{\text{смесь}} = 2 \cdot 350 = 700 \text{ К}$$

Состояние 2 — после расширения ($\nu = 3$ моль, $T_2 = 700$ К):

$$U_2 = \frac{3}{2}\nu R T_2 = \frac{3}{2} \cdot 3 \cdot R \cdot 700 = 3150R$$

Отношение:

$$\frac{U_2}{U_1} = \frac{3150R}{675R} = \frac{3150}{675} = \frac{14}{3} \approx 4{,}67$$

Внутренняя энергия увеличилась приблизительно в $4{,}7$ раза.