ID: 00013014
В теплоизолированном сосуде под поршнем находится 1 моль гелия при температуре 450 К (обозначим это состояние системы номером 1). В сосуд через специальный патрубок с краном добавили еще 2 моля гелия при температуре 300 К, и дождались установления теплового равновесия. После этого, убрав теплоизоляцию, весь оказавшийся под поршнем газ медленно изобарически расширили, изменив его объём в 2 раза (обозначим это состояние системы номером 2). Во сколько раз увеличилась внутренняя энергия системы при переходе из состояния 1 в состояние 2? (Ответ округлить до десятых.)
Источник: ФИПИ
$\nu_1 = 1 \text{ моль}$, $T_1 = 450 \text{ К}$; $\nu_2 = 2 \text{ моль}$, $T_2 = 300 \text{ К}$; газ — гелий (одноатомный); после смешивания — изобарное расширение $V \to 2V$.
Во сколько раз увеличилась внутренняя энергия при переходе из состояния 1 в состояние 2?
Состояние 1 — исходный газ ($\nu_1 = 1$ моль, $T_1 = 450$ К):
$$U_1 = \frac{3}{2}\nu_1 R T_1 = \frac{3}{2} \cdot 1 \cdot R \cdot 450 = 675R$$
Смешивание газов (теплоизолированный сосуд под поршнем, процесс изобарный при смешивании). Суммарная внутренняя энергия сохраняется:
$$U_1' + U_2' = U_{\text{смесь}}$$
$$\frac{3}{2}R(1 \cdot 450 + 2 \cdot 300) = \frac{3}{2}(\nu_1 + \nu_2)R \cdot T_{\text{смесь}}$$
$$\frac{3}{2}R \cdot 1050 = \frac{3}{2} \cdot 3 \cdot R \cdot T_{\text{смесь}}$$
$$T_{\text{смесь}} = \frac{1050}{3} = 350 \text{ К}$$
Изобарное расширение (объём увеличивается в 2 раза, $p = \text{const}$):
При изобарном процессе $\frac{V}{T} = \text{const}$:
$$\frac{V_2}{T_{\text{смесь}}} = \frac{2V_2}{T_2} \Rightarrow T_2 = 2 \cdot T_{\text{смесь}} = 2 \cdot 350 = 700 \text{ К}$$
Состояние 2 — после расширения ($\nu = 3$ моль, $T_2 = 700$ К):
$$U_2 = \frac{3}{2}\nu R T_2 = \frac{3}{2} \cdot 3 \cdot R \cdot 700 = 3150R$$
Отношение:
$$\frac{U_2}{U_1} = \frac{3150R}{675R} = \frac{3150}{675} = \frac{14}{3} \approx 4{,}67$$
Внутренняя энергия увеличилась приблизительно в $4{,}7$ раза.