Дано:

\nu_1 = 1 \text{ моль}, T_1 = 450 \text{ К}; \nu_2 = 2 \text{ моль}, T_2 = 300 \text{ К}; газ — гелий (одноатомный); после смешивания — изобарное расширение V \to 2V.

Найти:

Во сколько раз увеличилась внутренняя энергия при переходе из состояния 1 в состояние 2?

Решение:

Состояние 1 — исходный газ (\nu_1 = 1 моль, T_1 = 450 К):

U_1 = \frac{3}{2}\nu_1 R T_1 = \frac{3}{2} \cdot 1 \cdot R \cdot 450 = 675R

Смешивание газов (теплоизолированный сосуд под поршнем, процесс изобарный при смешивании). Суммарная внутренняя энергия сохраняется:

U_1' + U_2' = U_{\text{смесь}}

\frac{3}{2}R(1 \cdot 450 + 2 \cdot 300) = \frac{3}{2}(\nu_1 + \nu_2)R \cdot T_{\text{смесь}}

\frac{3}{2}R \cdot 1050 = \frac{3}{2} \cdot 3 \cdot R \cdot T_{\text{смесь}}

T_{\text{смесь}} = \frac{1050}{3} = 350 \text{ К}

Изобарное расширение (объём увеличивается в 2 раза, p = \text{const}):

При изобарном процессе \frac{V}{T} = \text{const}:

\frac{V_2}{T_{\text{смесь}}} = \frac{2V_2}{T_2} \Rightarrow T_2 = 2 \cdot T_{\text{смесь}} = 2 \cdot 350 = 700 \text{ К}

Состояние 2 — после расширения (\nu = 3 моль, T_2 = 700 К):

U_2 = \frac{3}{2}\nu R T_2 = \frac{3}{2} \cdot 3 \cdot R \cdot 700 = 3150R

Отношение:

\frac{U_2}{U_1} = \frac{3150R}{675R} = \frac{3150}{675} = \frac{14}{3} \approx 4{,}67

Внутренняя энергия увеличилась приблизительно в 4{,}7 раза.