Задание 26 ЕГЭ по физике №00012858

Дано: $M=0{,}99$ кг, $m=0{,}01$ кг, $v_0=200$ м/с, $h=1$ м (от основания), полусфера гладкая.

Удар горизонтальный, пуля застревает. Внешние силы (тяжесть, реакция) вертикальны, поэтому по горизонтали импульс сохраняется:

$$m v_0=(M+m)v_1,\qquad v_1=\frac{m v_0}{M+m}=\frac{0{,}01\cdot200}{1}=2\ \text{м/с}.$$

Дальше составное тело массой $M+m$ скользит по гладкой полусфере. В точке отрыва реакция опоры равна нулю, и сила тяжести вдоль радиуса даёт центростремительное ускорение:

$$g\cos\alpha=\frac{v_2^2}{R},\qquad h=R\cos\alpha\;\Rightarrow\;v_2^2=gR\cos\alpha=gh.$$

Закон сохранения энергии от вершины (высота $R$, скорость $v_1$) до точки отрыва (высота $h$, скорость $v_2$):

$$\frac{v_1^2}{2}+gR=\frac{v_2^2}{2}+gh.$$

Подставив $v_2^2=gh$: $\dfrac{v_1^2}{2}+gR=\dfrac{gh}{2}+gh=\dfrac{3}{2}gh$, откуда

$$R=\frac{3}{2}h-\frac{v_1^2}{2g}=\frac{3}{2}\cdot1-\frac{2^2}{2\cdot10}=1{,}5-0{,}2=1{,}3\ \text{м}.$$