ID: 00012858
Небольшое тело массой М = 0,99 кг лежит на вершине гладкой полусферы радиусом R. В тело попадает пуля массой m = 0,01 кг, летящая горизонтально со скоростью v0 = 200 м/с, и застревает в нём. Пренебрегая смещением тела за время удара, определите радиус полусферы R, если известно, что высота, на которой это тело оторвётся от поверхности полусферы, составила h = 1 м. Высота отсчитывается от основания полусферы. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Источник: ФИПИ
Дано: $M=0{,}99$ кг, $m=0{,}01$ кг, $v_0=200$ м/с, $h=1$ м (от основания), полусфера гладкая.
Удар горизонтальный, пуля застревает. Внешние силы (тяжесть, реакция) вертикальны, поэтому по горизонтали импульс сохраняется:
$$m v_0=(M+m)v_1,\qquad v_1=\frac{m v_0}{M+m}=\frac{0{,}01\cdot200}{1}=2\ \text{м/с}.$$
Дальше составное тело массой $M+m$ скользит по гладкой полусфере. В точке отрыва реакция опоры равна нулю, и сила тяжести вдоль радиуса даёт центростремительное ускорение:
$$g\cos\alpha=\frac{v_2^2}{R},\qquad h=R\cos\alpha\;\Rightarrow\;v_2^2=gR\cos\alpha=gh.$$
Закон сохранения энергии от вершины (высота $R$, скорость $v_1$) до точки отрыва (высота $h$, скорость $v_2$):
$$\frac{v_1^2}{2}+gR=\frac{v_2^2}{2}+gh.$$
Подставив $v_2^2=gh$: $\dfrac{v_1^2}{2}+gR=\dfrac{gh}{2}+gh=\dfrac{3}{2}gh$, откуда
$$R=\frac{3}{2}h-\frac{v_1^2}{2g}=\frac{3}{2}\cdot1-\frac{2^2}{2\cdot10}=1{,}5-0{,}2=1{,}3\ \text{м}.$$
1,3