ID: 00012785
Прямоугольный треугольник расположен перед собирающей линзой с фокусным расстоянием F = 20 см, как показано на рисунке. Катет треугольника, расположенный на главной оптической оси, имеет длину с = 2 см, а его гипотенуза составляет угол α = 60° с главной оптической осью линзы. Определите тангенс угла, который составляет с главной оптической осью линзы гипотенуза даваемого линзой изображения этого треугольника. Постройте изображение треугольника в линзе. Ответ округлите до сотых.
Источник: ФИПИ
Линза строит изображение каждой вершины треугольника. Точки треугольника на разном расстоянии от линзы, поэтому их изображения смещаются по-разному, и наклон гипотенузы у изображения меняется. Найдём изображения вершин и тангенс наклона.
Геометрия предмета. Прямой угол находится на оси у отметки $2F=40$ см, катет лежит на оси длиной $c=2$ см (к линзе), значит вершина с катетом — на $38$ см. Высота верхней вершины $h=c\tan\alpha=2\tan60^\circ\approx3{,}46$ см.
Изображения вершин. Вершина в $2F$ → изображение в $2F=40$ см, увеличение $-1$. Вершина на оси в $38$ см → $v=\dfrac{Fa}{a-F}=\dfrac{20\cdot38}{18}\approx42{,}2$ см. Верхняя вершина (в $40$ см, высота $3{,}46$) → изображение в $40$ см, высота $-3{,}46$ см.
Тангенс наклона гипотенузы изображения. Гипотенуза соединяет точки $(40;-3{,}46)$ и $(42{,}2;0)$: $\tan=\dfrac{3{,}46}{42{,}2-40}\approx1{,}56$.