ID: 00012778
Равнобедренный прямоугольный треугольник ABC площадью 50 см3, расположен перед тонкой собирающей линзой так, что его катет AC лежит на главной оптической оси линзы. Фокусное расстояние линзы 50 см. Вершина прямого угла C лежит ближе к центру линзы, чем вершина острого угла A. Расстояние от центра линзы до точки C равно удвоенному фокусному расстоянию линзы (см. рис.). Постройте изображение треугольника и найдите площадь получившейся фигуры.
Источник: ФИПИ
Прямоугольный треугольник лежит катетом $AC$ на оптической оси, вершина прямого угла $C$ ближе к линзе (в точке $2F$). Линза строит изображение каждой точки, но точки на разном расстоянии вдоль оси дают изображения с разным продольным смещением — поэтому изображение треугольника по форме отличается от исходного. Найдём изображения вершин и площадь.
Найдём катет. Треугольник равнобедренный прямоугольный, площадь $50\ \text{см}^2=\dfrac12 AC\cdot BC$ при $AC=BC$, поэтому $AC^2=100$, $AC=10$ см. Вершина $C$ в $2F=100$ см, вершина $A$ — в $100+10=110$ см. Катет $BC=10$ см поднимается вверх в точке $C$.
Изображения вершин. $C$ в $2F$ $\to$ изображение тоже в $2F=100$ см, увеличение $-1$. $A$ на $110$ см $\to v_A=\dfrac{F a}{a-F}=\dfrac{50\cdot110}{60}\approx91{,}7$ см. Вершина $B$ (на оси-координате $100$ см, высота $10$) $\to$ изображение в $100$ см, высота $-10$ см.
Площадь изображения. Изображение — прямоугольный треугольник с катетами $|A'C'|=100-91{,}7=8{,}3$ см (вдоль оси) и $|C'B'|=10$ см (поперёк). Площадь $S'=\dfrac12\cdot8{,}3\cdot10\approx41{,}7\ \text{см}^2$.