ID: 00012747
Груз массой М = 800 г соединён невесомой и нерастяжимой нитью, перекинутой через гладкий невесомый блок, с бруском массой m = 400 г. К этому бруску на лёгкой пружине жёсткостью k = 80 Н/м подвешен второй такой же брусок. Длина нерастянутой пружины l = 10 см, коэффициент трения груза о поверхность стола μ = 0,2. Определите длину пружины при движении брусков, считая, что при этом движении она постоянна. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на груз и бруски. Обоснуйте применимость используемых законов к решению задачи.
Источник: Сборник Демидовой 2026
Дано: M = 0{,}8 кг; m = 0{,}4 кг; k = 80 Н/м; длина нерастянутой пружины L_0 = 0{,}1 м; \mu = 0{,}2; g = 10\ \text{м/с}^2.
Найти: длину пружины L при движении.
Обозначим груз на столе — тело 1, верхний брусок — тело 2, нижний брусок — тело 3. Нить невесома и нерастяжима, поэтому сила натяжения одинакова (T_1=T_2=T), а ускорения всех тел равны по модулю a. Пружина лёгкая, поэтому сила упругости одинакова с обоих концов.
Второй закон Ньютона для тела 1 (по горизонтали): T - \mu M g = M a.
Для тела 2 (вниз): m g + F_{упр} - T = m a.
Для тела 3 (вниз): m g - F_{упр} = m a.
Сложим уравнения тел 2 и 3: 2 m g - T = 2 m a, откуда T = 2m(g-a).
Приравняем к T = Ma + \mu M g из уравнения тела 1:
M a + \mu M g = 2m(g-a) \;\Rightarrow\; a = \dfrac{g(2m - \mu M)}{M + 2m} = \dfrac{10\,(0{,}8 - 0{,}16)}{1{,}6} = 4\ \text{м/с}^2
Из уравнения тела 3 найдём силу упругости: F_{упр} = m(g-a) = 0{,}4\cdot(10-4) = 2{,}4 Н.
По закону Гука удлинение \Delta L = \dfrac{F_{упр}}{k} = \dfrac{2{,}4}{80} = 0{,}03 м.
Длина пружины при движении: L = L_0 + \Delta L = 0{,}1 + 0{,}03 = 0{,}13 м.