ID: 00012746
Равнобедренный прямоугольный треугольник АВС расположен перед тонкой линзой оптической силой 2,5 дптр так, что его катет АС лежит на главной оптической оси линзы. Вершина прямого угла С лежит ближе к центру линзы, чем вершина острого угла А. Расстояние от центра линзы до точки С равно удвоенному фокусному расстоянию линзы, АС = 4 см (см. рисунок). Постройте изображение треугольника и найдите площадь получившейся фигуры.
Источник: ФИПИ
найдём фокусное расстояние. Оптическая сила связана с фокусным расстоянием: $D = \dfrac{1}{F}$, поэтому $F = \dfrac{1}{D} = \dfrac{1}{2{,}5} = 0{,}4$ м $= 40$ см.
изображение катета $BC$. Точка $C$ находится на двойном фокусном расстоянии: $d_C = 2F = 80$ см. Предмет в двойном фокусе собирающей линзы даёт действительное перевёрнутое изображение того же размера, тоже в двойном фокусе с другой стороны. Значит $f_C = 80$ см, а катет не меняет длину: $B'C' = BC = 4$ см.
изображение точки $A$. Точка $A$ лежит на оси дальше: $d_A = d_C + AC = 80 + 4 = 84$ см. По формуле тонкой линзы $\dfrac{1}{F} = \dfrac{1}{d_A} + \dfrac{1}{f_A}$, откуда $f_A = \dfrac{F d_A}{d_A - F} = \dfrac{40 \cdot 84}{84 - 40} = \dfrac{840}{11}$ см.
площадь изображения. Изображение — прямоугольный треугольник $A'B'C'$. Катет вдоль оси: $A'C' = f_C - f_A = 80 - \dfrac{840}{11} = \dfrac{40}{11}$ см.
Площадь: $S = \dfrac{1}{2}\,A'C' \cdot B'C' = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{40}{11} \cdot 4 = \dfrac{80}{11} \approx 7{,}3$ см².