ID: 00012745
В вертикальном цилиндрическом сосуде с площадью поперечного сечения S = 5 см2 под подвижным поршнем массой М = 1 кг с лежащим на нём грузом массой m находится воздух при комнатной температуре. Первоначально поршень находился на высоте h1 = 15 см от дна сосуда. Если груз снять с поршня, то поршень поднимется на ∆h = 2 см. Какова масса груза m? Воздух считать идеальным газом, а его температуру — неизменной. Атмосферное давление равно 105 Па. Трение между стенками и поршнем не учитывать.
Источник: ФИПИ
Дано: $S = 5\ \text{см}^2 = 5\cdot10^{-4}\ \text{м}^2$; $M = 1$ кг; $H_1 = 15$ см $= 0{,}15$ м; $\Delta H = 2$ см $= 0{,}02$ м; $P_0 = 10^5$ Па; $g = 10\ \text{м/с}^2$.
Найти: массу груза $m$.
До снятия груза поршень с грузом в равновесии: $P_1 = P_0 + \dfrac{(M+m)g}{S}$.
После снятия груза равновесие поршня без груза: $P_2 = P_0 + \dfrac{Mg}{S}$.
Высота воздушного столба после: $H_2 = H_1 + \Delta H = 0{,}15 + 0{,}02 = 0{,}17$ м.
Температура неизменна, поэтому по закону Бойля — Мариотта $P_1 H_1 = P_2 H_2$.
Подставив выражения для давлений и решив относительно $m$:
$$m = \dfrac{\Delta H}{H_1}\left(M + \dfrac{P_0 S}{g}\right) = \dfrac{0{,}02}{0{,}15}\left(1 + \dfrac{10^5\cdot 5\cdot10^{-4}}{10}\right) = \dfrac{0{,}02}{0{,}15}\cdot 6 \approx 0{,}8\ \text{кг}$$