ID: 00012696
Шарик массой 0,2 кг, подвешенный на лёгкой пружине, совершает свободные гармонические колебания вдоль вертикальной прямой. Какой должна быть масса шарика, чтобы период его свободных вертикальных гармонических колебаний на этой же пружине был в 2 раза больше?
Источник: ФИПИ
Шаг 1. Формула периода пружинного маятника
Период свободных гармонических колебаний пружинного маятника вычисляется по формуле, где $m$ — масса груза, а $k$ — жесткость пружины:
$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$
Шаг 2. Составление отношения периодов
Поскольку в условии используется та же самая пружина, её жесткость $k$ остается неизменной. Запишем отношение нового периода $T_2$ к старому $T_1$:
$\frac{T_2}{T_1} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{m_2}{k}}}{2\pi\sqrt{\frac{m_1}{k}}} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$
Шаг 3. Выражение искомой массы
По условию задачи новый период должен быть в 2 раза больше начального, следовательно, отношение $\frac{T_2}{T_1} = 2$ (безразмерная величина). Подставляем это значение и возводим обе части уравнения в квадрат:
$2 = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}} \implies 4 = \frac{m_2}{m_1}$
Отсюда выражаем конечную массу $m_2$:
$m_2 = 4m_1$
Шаг 4. Расчет конечной массы
Подставляем известное значение начальной массы $m_1 = 0,2 \text{ кг}$ в полученную формулу:
$m_2 = 4 \cdot 0,2 \text{ кг} = 0,8 \text{ кг}$