ID: 00012641
Груз, подвешенный на лёгкой пружине жёсткостью 400 Н/м, совершает свободные вертикальные гармонические колебания. Пружину какой жёсткости надо взять вместо первой пружины, чтобы период свободных колебаний этого груза стал в 2 раза меньше? Ответ приведите в ньютонах на метр.
Источник: ФИПИ
$k_1=400$ Н/м
$T_2=\dfrac{T_1}{2}$
$k_2$ — ?
Период свободных вертикальных колебаний груза на пружине:
$$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$
Масса груза не меняется, поэтому период обратно пропорционален корню из жёсткости: $T\sim\dfrac{1}{\sqrt{k}}$. Запишем отношение периодов:
$$\frac{T_2}{T_1}=\sqrt{\frac{k_1}{k_2}}$$
По условию период должен стать вдвое меньше, то есть $\dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{1}{2}$:
$$\sqrt{\frac{k_1}{k_2}}=\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad \frac{k_1}{k_2}=\frac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad k_2=4k_1$$
$$k_2=4\cdot400=1600 \text{ Н/м}$$