Решение
Дано:
$R_1 = 1{,}2 \cdot 10^6 \text{ м}, \quad m_1 = 80 \text{ кг}, \quad m_2 = 320 \text{ кг}$
$F_1 = F_2$ (силы притяжения одинаковы)
Найти:
$R_2$ — ?
Решение:
По закону всемирного тяготения сила притяжения спутника к планете:
$$F = G \frac{M \cdot m}{R^2}$$
где $M$ — масса планеты, $m$ — масса спутника, $R$ — радиус орбиты.
Записываем условие равенства сил для двух спутников:
$$G \frac{M m_1}{R_1^2} = G \frac{M m_2}{R_2^2}$$
Гравитационная постоянная $G$ и масса планеты $M$ одинаковы — сокращаются:
$$\frac{m_1}{R_1^2} = \frac{m_2}{R_2^2}$$
Выражаем $R_2$:
$$R_2^2 = R_1^2 \cdot \frac{m_2}{m_1}$$
$$R_2 = R_1 \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$$
Подставляем числа из условия: масса второго спутника 320 кг, первого — 80 кг:
$$R_2 = 1{,}2 \cdot 10^6 \cdot \sqrt{\frac{320}{80}} = 1{,}2 \cdot 10^6 \cdot \sqrt{4} = 1{,}2 \cdot 10^6 \cdot 2 = 2{,}4 \cdot 10^6 \text{ м}$$
$$R_2 = 2400 \text{ км}$$