L/C контур — Задание 13 ЕГЭ по физике №00010646

Дано:

$U(t) = U_0 \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\,t\right)$

Найти:

$T_W$ — период колебаний энергии катушки

Решение:

Из закона напряжения определим циклическую частоту напряжения:

$$\omega = \frac{\pi}{2}\text{ рад/с}$$

Период колебаний напряжения:

$$T_U = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{2}} = 4\text{ с}$$

Энергия конденсатора пропорциональна квадрату напряжения:

$$W_C = \frac{CU^2}{2} \propto U^2 \propto \cos^2\!\left(\frac{\pi}{2}\,t\right)$$

Поскольку $\cos^2\!\left(\frac{\pi}{2}t\right) = \dfrac{1 + \cos(\pi t)}{2}$, частота изменения $W_C$ вдвое больше частоты колебаний напряжения.

Аналогично, энергия катушки $W_L$ и энергия конденсатора $W_C$ меняются с одинаковой частотой (в идеальном контуре $W_L + W_C = \text{const}$), и обе колеблются с периодом, вдвое меньшим периода колебаний напряжения:

$$T_W = \frac{T_U}{2} = \frac{4}{2} = 2\text{ с}$$