ID: 00010646
В идеальном колебательном контуре, состоящем из конденсатора и катушки индуктивности, происходят незатухающие колебания. Известно, что напряжение на конденсаторе изменяется со временем по закону $U(t) = 25・cos(πt/2)$. Определите период колебаний энергии в катушке. Ответ дайте в секундах.
Источник: ФИПИ
$U(t) = U_0 \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\,t\right)$
$T_W$ — период колебаний энергии катушки
Из закона напряжения определим циклическую частоту напряжения:
$$\omega = \frac{\pi}{2}\text{ рад/с}$$
Период колебаний напряжения:
$$T_U = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{2}} = 4\text{ с}$$
Энергия конденсатора пропорциональна квадрату напряжения:
$$W_C = \frac{CU^2}{2} \propto U^2 \propto \cos^2\!\left(\frac{\pi}{2}\,t\right)$$
Поскольку $\cos^2\!\left(\frac{\pi}{2}t\right) = \dfrac{1 + \cos(\pi t)}{2}$, частота изменения $W_C$ вдвое больше частоты колебаний напряжения.
Аналогично, энергия катушки $W_L$ и энергия конденсатора $W_C$ меняются с одинаковой частотой (в идеальном контуре $W_L + W_C = \text{const}$), и обе колеблются с периодом, вдвое меньшим периода колебаний напряжения:
$$T_W = \frac{T_U}{2} = \frac{4}{2} = 2\text{ с}$$