Решение
Дано:
$m_1 = 1{,}5$ кг, $m_2 = 1$ кг, $m_3 = 3$ кг, $H = 0{,}5$ м, $g = 10$ м/с²
Найти:
$h$ — максимальная высота подъёма $m_3$ над подставкой.
Решение:
Используемые законы:
1. Закон сохранения энергии при свободном падении $m_2$.
2. Закон сохранения импульса при абсолютно неупругом ударе (кратковременное взаимодействие $m_2$ и чашки $m_1$; учитываем импульс натяжения нити, так как нить нерастяжима и мгновенно передаёт импульс на $m_3$).
3. Закон сохранения энергии после удара (для системы со связанными нитью массами).
Шаг 1. Скорость $m_2$ перед ударом (свободное падение с высоты $H$):
$$v_0 = \sqrt{2gH} = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 0{,}5} = \sqrt{10} \approx 3{,}16 \text{ м/с}$$
Шаг 2. Удар $m_2$ о чашку (мгновенный, неупругий, с учётом нити).
Время удара $\Delta t \to 0$, подставка перестаёт давить на $m_3$ (если $m_3$ отрывается), реакция $N = 0$ в течение удара. Силы тяжести за время удара дают пренебрежимо малый импульс. Обозначим $u$ — скорость чашки с $m_2$ вниз (равна скорости $m_3$ вверх, так как нить нерастяжима).
Уравнения импульсов (мгновенный удар):
- Для $m_2$ (положительно вниз): $m_2 u - m_2 v_0 = -F\Delta t$
- Для $m_1$ (вниз +): $m_1 u = F\Delta t - T\Delta t$
- Для $m_3$ (вверх +): $m_3 u = T\Delta t$
Сложим три уравнения:
$$(m_1 + m_2 + m_3)u = m_2 v_0$$
$$u = \frac{m_2 v_0}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{1 \cdot \sqrt{10}}{5{,}5} \approx 0{,}575 \text{ м/с}$$
Шаг 3. Подъём $m_3$ до максимальной высоты (ЗСЭ после удара).
После удара чашка с $m_2$ (совокупная масса $m_1 + m_2 = 2{,}5$ кг) движется вниз, $m_3 = 3$ кг движется вверх. На систему действует гравитация. Максимум подъёма $m_3$ — когда скорость равна нулю. В этот момент чашка опустится на то же $h$ (нить нерастяжима).
Закон сохранения энергии:
$$\frac{(m_1 + m_2 + m_3)u^2}{2} + (m_1 + m_2)gh = m_3 gh$$
(левая часть: начальная КЭ + работа силы тяжести по опусканию чашки с $m_2$; правая: работа силы тяжести по подъёму $m_3$)
Перегруппируем:
$$\frac{(m_1 + m_2 + m_3)u^2}{2} = (m_3 - m_1 - m_2)gh$$
$$h = \frac{(m_1 + m_2 + m_3) u^2}{2g(m_3 - m_1 - m_2)}$$
Подставляем $u^2 = \dfrac{m_2^2 v_0^2}{(m_1+m_2+m_3)^2} = \dfrac{m_2^2 \cdot 2gH}{(m_1+m_2+m_3)^2}$:
$$h = \frac{m_2^2 H}{(m_1 + m_2 + m_3)(m_3 - m_1 - m_2)}$$
Подставляем числа: $m_3 - m_1 - m_2 = 3 - 1{,}5 - 1 = 0{,}5$ кг; $m_1 + m_2 + m_3 = 5{,}5$ кг:
$$h = \frac{1^2 \cdot 0{,}5}{5{,}5 \cdot 0{,}5} = \frac{0{,}5}{2{,}75} \approx 0{,}182 \text{ м} \approx 18{,}2 \text{ см}$$
Итог: $h \approx 0{,}18$ м $\approx 18$ см.
