Дано:

m_1 = 1{,}5 кг, m_2 = 1 кг, m_3 = 3 кг, H = 0{,}5 м, g = 10 м/с²

Найти:

h — максимальная высота подъёма m_3 над подставкой.

Решение:

Используемые законы:

1. Закон сохранения энергии при свободном падении m_2. 2. Закон сохранения импульса при абсолютно неупругом ударе (кратковременное взаимодействие m_2 и чашки m_1; учитываем импульс натяжения нити, так как нить нерастяжима и мгновенно передаёт импульс на m_3). 3. Закон сохранения энергии после удара (для системы со связанными нитью массами). Шаг 1. Скорость m_2 перед ударом (свободное падение с высоты H): v_0 = \sqrt{2gH} = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 0{,}5} = \sqrt{10} \approx 3{,}16 \text{ м/с}

Шаг 2. Удар m_2 о чашку (мгновенный, неупругий, с учётом нити).

Время удара \Delta t \to 0, подставка перестаёт давить на m_3 (если m_3 отрывается), реакция N = 0 в течение удара. Силы тяжести за время удара дают пренебрежимо малый импульс. Обозначим u — скорость чашки с m_2 вниз (равна скорости m_3 вверх, так как нить нерастяжима). Уравнения импульсов (мгновенный удар): - Для m_2 (положительно вниз): m_2 u - m_2 v_0 = -F\Delta t - Для m_1 (вниз +): m_1 u = F\Delta t - T\Delta t - Для m_3 (вверх +): m_3 u = T\Delta t Сложим три уравнения: (m_1 + m_2 + m_3)u = m_2 v_0 u = \frac{m_2 v_0}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{1 \cdot \sqrt{10}}{5{,}5} \approx 0{,}575 \text{ м/с} Шаг 3. Подъём m_3 до максимальной высоты (ЗСЭ после удара). После удара чашка с m_2 (совокупная масса m_1 + m_2 = 2{,}5 кг) движется вниз, m_3 = 3 кг движется вверх. На систему действует гравитация. Максимум подъёма m_3 — когда скорость равна нулю. В этот момент чашка опустится на то же h (нить нерастяжима). Закон сохранения энергии: \frac{(m_1 + m_2 + m_3)u^2}{2} + (m_1 + m_2)gh = m_3 gh (левая часть: начальная КЭ + работа силы тяжести по опусканию чашки с m_2; правая: работа силы тяжести по подъёму m_3) Перегруппируем: \frac{(m_1 + m_2 + m_3)u^2}{2} = (m_3 - m_1 - m_2)gh h = \frac{(m_1 + m_2 + m_3) u^2}{2g(m_3 - m_1 - m_2)} Подставляем u^2 = \dfrac{m_2^2 v_0^2}{(m_1+m_2+m_3)^2} = \dfrac{m_2^2 \cdot 2gH}{(m_1+m_2+m_3)^2}: h = \frac{m_2^2 H}{(m_1 + m_2 + m_3)(m_3 - m_1 - m_2)} Подставляем числа: m_3 - m_1 - m_2 = 3 - 1{,}5 - 1 = 0{,}5 кг; m_1 + m_2 + m_3 = 5{,}5 кг: h = \frac{1^2 \cdot 0{,}5}{5{,}5 \cdot 0{,}5} = \frac{0{,}5}{2{,}75} \approx 0{,}182 \text{ м} \approx 18{,}2 \text{ см} Итог: h \approx 0{,}18 м \approx 18 см.