Задание 26 ЕГЭ по физике №00010581

Дано:

$H = 5$ м, $m = 10$ кг
$\Delta x = 1$ м, $k = 6\cdot10^3$ Н/м
$\eta = \tfrac{1}{6}$, $L = 600$ м

Найти:

$M$ — масса ствола

Обоснование:

Считаем систему отсчёта, связанную с Землёй, инерциальной — в ней можно применять законы Ньютона и законы сохранения. Снаряд и ствол считаем материальными точками. В момент выстрела силы взаимодействия снаряда и ствола очень велики и кратковременны, поэтому внешними силами (тяжестью, трением) за это мгновение можно пренебречь — система «снаряд + ствол» замкнута по горизонтали, и для неё применим закон сохранения импульса. Энергия отдачи преобразуется в энергию упругой пружины — здесь работает закон сохранения энергии. Полёт снаряда — движение тела, брошенного горизонтально (равноускоренное по вертикали, равномерное по горизонтали).

Решение:

Сначала найдём, с какой скоростью вылетел снаряд. Он летит горизонтально с высоты $H$, поэтому время падения берём из вертикального движения $H = \dfrac{gt^2}{2}$:

$$t = \sqrt{\frac{2H}{g}} = \sqrt{\frac{2\cdot 5}{10}} = 1\ \text{с}.$$

Горизонтальная скорость постоянна, поэтому из дальности:

$$V_0 = \frac{L}{t} = \frac{600}{1} = 600\ \text{м/с}.$$

До выстрела система покоилась, суммарный импульс был нулевым. По закону сохранения импульса вдоль горизонтали импульс снаряда равен по модулю импульсу ствола:

$$0 = mV_0 - MU \;\Rightarrow\; U = \frac{mV_0}{M},$$

где $U$ — скорость ствола сразу после выстрела. Энергия отдачи — это кинетическая энергия ствола:

$$E_{\text{отд}} = \frac{MU^2}{2} = \frac{M}{2}\left(\frac{mV_0}{M}\right)^2 = \frac{m^2 V_0^2}{2M}.$$

По условию доля $\eta$ этой энергии идёт на сжатие пружины, а энергия сжатой пружины равна $\dfrac{k\Delta x^2}{2}$:

$$\frac{k\Delta x^2}{2} = \eta\cdot\frac{m^2 V_0^2}{2M}.$$

Выразим массу ствола:

$$M = \frac{\eta\, m^2 V_0^2}{k\,\Delta x^2}.$$

Подставим числа:

$$M = \frac{\tfrac{1}{6}\cdot 10^2\cdot 600^2}{6\cdot10^3\cdot 1^2} = \frac{\tfrac{1}{6}\cdot 100\cdot 360000}{6000} = 1000\ \text{кг}.$$