Дано:

H = 5 м, m = 10 кг
\Delta x = 1 м, k = 6\cdot10^3 Н/м
\eta = \tfrac{1}{6}, L = 600 м

Найти:

M — масса ствола

Обоснование:

Считаем систему отсчёта, связанную с Землёй, инерциальной — в ней можно применять законы Ньютона и законы сохранения. Снаряд и ствол считаем материальными точками. В момент выстрела силы взаимодействия снаряда и ствола очень велики и кратковременны, поэтому внешними силами (тяжестью, трением) за это мгновение можно пренебречь — система «снаряд + ствол» замкнута по горизонтали, и для неё применим закон сохранения импульса. Энергия отдачи преобразуется в энергию упругой пружины — здесь работает закон сохранения энергии. Полёт снаряда — движение тела, брошенного горизонтально (равноускоренное по вертикали, равномерное по горизонтали).

Решение:

Сначала найдём, с какой скоростью вылетел снаряд. Он летит горизонтально с высоты H, поэтому время падения берём из вертикального движения H = \dfrac{gt^2}{2}:

t = \sqrt{\frac{2H}{g}} = \sqrt{\frac{2\cdot 5}{10}} = 1\ \text{с}.

Горизонтальная скорость постоянна, поэтому из дальности:

V_0 = \frac{L}{t} = \frac{600}{1} = 600\ \text{м/с}.

До выстрела система покоилась, суммарный импульс был нулевым. По закону сохранения импульса вдоль горизонтали импульс снаряда равен по модулю импульсу ствола:

0 = mV_0 - MU \;\Rightarrow\; U = \frac{mV_0}{M},

где U — скорость ствола сразу после выстрела. Энергия отдачи — это кинетическая энергия ствола:

E_{\text{отд}} = \frac{MU^2}{2} = \frac{M}{2}\left(\frac{mV_0}{M}\right)^2 = \frac{m^2 V_0^2}{2M}.

По условию доля \eta этой энергии идёт на сжатие пружины, а энергия сжатой пружины равна \dfrac{k\Delta x^2}{2}:

\frac{k\Delta x^2}{2} = \eta\cdot\frac{m^2 V_0^2}{2M}.

Выразим массу ствола:

M = \frac{\eta\, m^2 V_0^2}{k\,\Delta x^2}.

Подставим числа:

M = \frac{\tfrac{1}{6}\cdot 10^2\cdot 600^2}{6\cdot10^3\cdot 1^2} = \frac{\tfrac{1}{6}\cdot 100\cdot 360000}{6000} = 1000\ \text{кг}.