Решение
Дано:
$M = 400 \text{ кг}, \quad m_\text{He} = 100 \text{ кг}, \quad \mu_\text{He} = 0{,}004 \text{ кг/моль}, \quad \mu_\text{возд} = 0{,}029 \text{ кг/моль}$
Найти:
$m_\text{груз}$ — ?
Решение:
Условие равновесия шара с грузом (проекция на вертикаль):
$$F_\text{Арх} = m_\text{He} g + M g + m_\text{груз} g$$
Отсюда масса груза:
$$m_\text{груз} = \frac{F_\text{Арх}}{g} - m_\text{He} - M$$
Сила Архимеда: $F_\text{Арх} = \rho_\text{возд} \cdot V \cdot g$, где $V$ — объём шара. Плотность воздуха:
$$\rho_\text{возд} = \frac{\mu_\text{возд} \cdot p_0}{RT}$$
Объём шара найдём из уравнения Менделеева–Клапейрона для гелия внутри ($p$ внутри $= p_0$):
$$p_0 V = \frac{m_\text{He}}{\mu_\text{He}} R T \Rightarrow V = \frac{m_\text{He} R T}{\mu_\text{He} p_0}$$
Подставляем в выражение для $F_\text{Арх}/g$:
$$\frac{F_\text{Арх}}{g} = \rho_\text{возд} V = \frac{\mu_\text{возд} p_0}{RT} \cdot \frac{m_\text{He} R T}{\mu_\text{He} p_0} = \frac{\mu_\text{возд} \cdot m_\text{He}}{\mu_\text{He}}$$
Подставляем числа:
$$\frac{F_\text{Арх}}{g} = \frac{0{,}029 \cdot 100}{0{,}004} = 725 \text{ кг}$$
Масса груза:
$$m_\text{груз} = 725 - 100 - 400 = 225 \text{ кг}$$