ID: 00008216
На горизонтальном столе находится брусок массой М = 1 кг, соединённый невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через гладкий невесомый блок, с грузом массой m = 500 г. На брусок действует сила величиной F=9 Н, направленная под углом а = 30° к горизонту (см. рисунок). В момент начала движения груз находится на расстоянии L = 40 см от края стола.
За какое время груз поднимется до края стола, если коэффициент трения между бруском и столом μ = 0,3? Сделайте схематичный рисунок с указанием сил, действующих на брусок и груз. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Источник: ФИПИ
$M = 1 \text{ кг}, \quad m = 0{,}5 \text{ кг}, \quad F = 9 \text{ Н}, \quad \alpha = 30°$
$L = 0{,}40 \text{ м}, \quad \mu = 0{,}3, \quad g = 10 \text{ м/с}^2$
$t$ — время подъёма груза до края стола
Нить нерастяжима — ускорения тел одинаковы.
Второй закон Ньютона для грузика (ось $y$, вверх):
$$T - mg = ma$$
Второй закон Ньютона для бруска (ось $y$):
$$N + F\sin\alpha - Mg = 0 \implies N = Mg - F\sin\alpha$$
Второй закон Ньютона для бруска (ось $x$, вправо):
$$F\cos\alpha - F_\text{тр} - T = Ma$$
Закон Кулона–Амонтона:
$$F_\text{тр} = \mu N = \mu(Mg - F\sin\alpha)$$
Из уравнения для грузика: $T = m(g + a)$.
Подставляем в уравнение для бруска:
$$a = \frac{F\cos\alpha - \mu(Mg - F\sin\alpha) - mg}{M + m}$$
$$a = \frac{9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0{,}3\!\left(10 - 9 \cdot \tfrac{1}{2}\right) - 0{,}5 \cdot 10}{1{,}5}$$
$$a = \frac{7{,}794 - 0{,}3 \cdot 5{,}5 - 5}{1{,}5} = \frac{7{,}794 - 1{,}65 - 5}{1{,}5} = \frac{1{,}144}{1{,}5} \approx 0{,}763 \text{ м/с}^2$$
Кинематика (начальная скорость = 0):
$$L = \frac{at^2}{2} \implies t = \sqrt{\frac{2L}{a}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0{,}40}{0{,}763}} = \sqrt{1{,}048} \approx 1{,}02 \text{ с}$$
1,02 с