ID: 00008135
Математический маятник раскачивается с некоторой амплитудой A в плоскости рисунка. Равновесное положение нити маятника находится на расстоянии L= \sqrt{5} см от переднего фокуса тонкой положительной линзы. Расстояние между изображениями маятника, лежащими на главной оптической оси линзы, равно Δ = 2 см, а оптическая сила линзы D = 50 дптр. Найти амплитуду колебаний.
Источник: ФИПИ
Маятник качается возле линзы; его крайние положения лежат на главной оптической оси, и линза строит их изображения тоже на оси. Расстояние между этими изображениями задано. Свяжем его с амплитудой через формулу линзы в форме Ньютона.
Фокусное расстояние. F=\dfrac{1}{D}=\dfrac{1}{50} м =2 см. Положение равновесия — на расстоянии L=\sqrt5 см от фокуса; крайние точки качания смещены от него вдоль оси на \pm A, то есть находятся на расстояниях (\sqrt5-A) и (\sqrt5+A) от фокуса.
Формула Ньютона. Расстояние изображения от заднего фокуса x'=\dfrac{F^2}{x}. Расстояние между изображениями \Delta=F^2\left(\dfrac{1}{\sqrt5-A}-\dfrac{1}{\sqrt5+A}\right)=\dfrac{F^2\cdot2A}{5-A^2}.
Амплитуда. 2=\dfrac{4\cdot2A}{5-A^2}, то есть 8A=2(5-A^2), откуда A^2+4A-5=0 и A=1 см.
1 см