ID: 00008135
Математический маятник раскачивается с некоторой амплитудой A в плоскости рисунка. Равновесное положение нити маятника находится на расстоянии L= $\sqrt{5}$ см от переднего фокуса тонкой положительной линзы. Расстояние между изображениями маятника, лежащими на главной оптической оси линзы, равно Δ = 2 см, а оптическая сила линзы D = 50 дптр. Найти амплитуду колебаний.
Источник: ФИПИ
Маятник качается возле линзы; его крайние положения лежат на главной оптической оси, и линза строит их изображения тоже на оси. Расстояние между этими изображениями задано. Свяжем его с амплитудой через формулу линзы в форме Ньютона.
Фокусное расстояние. $F=\dfrac{1}{D}=\dfrac{1}{50}$ м $=2$ см. Положение равновесия — на расстоянии $L=\sqrt5$ см от фокуса; крайние точки качания смещены от него вдоль оси на $\pm A$, то есть находятся на расстояниях $(\sqrt5-A)$ и $(\sqrt5+A)$ от фокуса.
Формула Ньютона. Расстояние изображения от заднего фокуса $x'=\dfrac{F^2}{x}$. Расстояние между изображениями $\Delta=F^2\left(\dfrac{1}{\sqrt5-A}-\dfrac{1}{\sqrt5+A}\right)=\dfrac{F^2\cdot2A}{5-A^2}$.
Амплитуда. $2=\dfrac{4\cdot2A}{5-A^2}$, то есть $8A=2(5-A^2)$, откуда $A^2+4A-5=0$ и $A=1$ см.
1 см