Дано:

одноатомный идеальный газ, замкнутый цикл 1\to2\to3\to1 (см. рисунок):
состояние 1 — (V_0,\ 2p_0), состояние 2 — (3V_0,\ 2p_0), состояние 3 — (V_0,\ p_0)
A_{12} = 8 кДж — работа газа на участке 1\to2

Найти:

Q_{\text{хол}} — количество теплоты, отданное газом холодильнику за цикл

Решение:

Участок 1\to2 — изобарный (давление 2p_0), объём растёт от V_0 до 3V_0. Работа газа:

A_{12} = 2p_0 \cdot (3V_0 - V_0) = 4 p_0 V_0 = 8\ \text{кДж} \quad\Rightarrow\quad p_0 V_0 = 2\ \text{кДж}.

Газ отдаёт тепло на тех участках, где количество теплоты отрицательно. Рассмотрим каждый участок (для одноатомного газа \Delta U = \dfrac{3}{2}\,\Delta(pV), а Q = \Delta U + A).

1\to2 (изобарное расширение): газ нагревается и расширяется, Q_{12} \gt 0 — тепло получает.

3\to1 (изохорный нагрев, объём V_0, давление растёт p_0 \to 2p_0): работа равна нулю, внутренняя энергия растёт, Q_{31} \gt 0 — тепло получает.

2\to3 (сжатие по прямой из (3V_0,2p_0) в (V_0,p_0)): здесь газ отдаёт тепло. Считаем его.

Изменение внутренней энергии:

\Delta U_{23} = \frac{3}{2}\,(p_3 V_3 - p_2 V_2) = \frac{3}{2}\,(p_0 V_0 - 6 p_0 V_0) = -\frac{15}{2}\,p_0 V_0 = -15\ \text{кДж}.

Работа газа (площадь под прямой 2\to3, объём уменьшается, поэтому она отрицательна):

A_{23} = \frac{p_2 + p_3}{2}\,(V_3 - V_2) = \frac{2p_0 + p_0}{2}\,(V_0 - 3V_0) = -3 p_0 V_0 = -6\ \text{кДж}.

Тогда на участке 2\to3:

Q_{23} = \Delta U_{23} + A_{23} = -15 + (-6) = -21\ \text{кДж}.

Знак «минус» означает, что газ отдал тепло. За цикл холодильнику отдано

Q_{\text{хол}} = |Q_{23}| = 21\ \text{кДж}.