ID: 00007919
На гладкой горизонтальной плоскости лежат два груза массами $m_1 = 1$ кг и $m_2 = 2$ кг соединённые невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через два неподвижных (А и В) и один подвижный (О) невесомые блоки, как показано на рисунке. Оси блоков горизонтальны, трения в осях блоков нет. К оси $О$ подвижного блока приложена некоторая направленная вертикально вниз сила, в результате чего ось $О$ движется с ускорением $a_0 = 3$ $м/с^2$. Найдите модуль $F$ этой силы. Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на грузы и блок.
Источник: ФИПИ
$m_1 = 1\text{ кг}$, $m_2 = 2\text{ кг}$, $a_0 = 3\text{ м/с}^2$
$F$
Шаг 1. Силы на блок O.
Блок невесомый, поэтому сумма сил на него равна нулю. По вертикали:
$$F = T_1 + T_2 = 2T$$
(нить одна, $T_1 = T_2 = T$).
Шаг 2. Второй закон Ньютона для грузов.
Для груза $m_1$ (ось X горизонтально):
$$T = m_1 a_1 \implies a_1 = \frac{T}{m_1} = \frac{F}{2m_1}$$
Для груза $m_2$:
$$T = m_2 a_2 \implies a_2 = \frac{T}{m_2} = \frac{F}{2m_2}$$
Шаг 3. Кинематическая связь.
Длина нити постоянна. Из геометрии системы (блок O подвижный, нить через два неподвижных блока):
$$-a_2 - a_1 + 2a_0 = 0$$
$$2a_0 = a_1 + a_2 = \frac{F}{2m_1} + \frac{F}{2m_2}$$
Шаг 4. Выражаем $F$.
$$F = \frac{2a_0}{\dfrac{1}{2m_1} + \dfrac{1}{2m_2}} = \frac{2a_0 \cdot 2m_1 m_2}{m_1 + m_2} \cdot \frac{1}{1}$$
Подставляем:
$$F = \frac{-2a_0}{-\dfrac{1}{2m_2} - \dfrac{1}{2m_1}} = \frac{2 \cdot 3}{\dfrac{1}{2\cdot2} + \dfrac{1}{2\cdot1}} = \frac{6}{0{,}25 + 0{,}5} = \frac{6}{0{,}75} = 8\text{ Н}$$