ID: 00007918
Равнобедренный прямоугольный треугольник ABC площадью 50 см^2 расположен перед тонкой собирающей линзой так, что его катет АС лежит на главной оптической оси линзы. Фокусное расстояние линзы 50 см. Вершина прямого угла С лежит дальше от центра линзы, чем вершина острого угла А. Расстояние от центра линзы до точки А равно удвоенному фокусному расстоянию линзы. Постройте изображение треугольника и найдите площадь получившейся фигуры.
Источник: ФИПИ
Дано: площадь S_0=50 см², F=50 см, катет AC на оси, A в точке 2F, вершина прямого угла C дальше.
Так как треугольник равнобедренный прямоугольный, его катеты равны: из S_0=\dfrac{1}{2}AC^2 получаем AC=BC=10 см.
Точка A находится на двойном фокусном расстоянии d_A=2F=100 см, поэтому её изображение A' тоже в 2F (f_A=100 см), увеличение по модулю равно 1.
Вершина C дальше: d_C=d_A+AC=110 см. По формуле линзы f_C=\dfrac{F d_C}{d_C-F}=\dfrac{50\cdot110}{110-50}=\dfrac{5500}{60}\approx91{,}7 см.
Катет изображения вдоль оси A'C'=f_A-f_C=100-91{,}7=8{,}3 см. Вертикальный катет B'C' равен высоте BC=10 см, увеличенной множителем \dfrac{f_C}{d_C}=\dfrac{91{,}7}{110}\approx0{,}83, то есть B'C'\approx8{,}3 см.
Площадь изображения: S=\dfrac{1}{2}A'C'\cdot B'C'=\dfrac{1}{2}\cdot8{,}3\cdot8{,}3\approx35\ \text{см}^2.
35