ID: 00007916
Сферическую оболочку воздушного шара наполняют гелием при атмосферном давлении 105 Па. Минимальная масса оболочки, при которой шар начинает поднимать сам себя, равна 500 кг. Температура гелия и окружающего воздуха одинакова и равна 0°С. Чему равна масса одного квадратного метра материала оболочки шара? (Площадь сферы $S=4пR^2$, объём шара $V=4/3 пR^3$ )
Источник: ФИПИ
сферическая оболочка массой $M = 500 \text{ кг}$, гелий, $T = 273 \text{ К}$, $p = 10^5 \text{ Па}$, $\mu_{\text{возд}} = 0{,}029 \text{ кг/моль}$, $\mu_{He} = 0{,}004 \text{ кг/моль}$
массу одного квадратного метра оболочки $\frac{M}{S} = ?$
На шар действуют: вверх — сила Архимеда $F_A = \rho_{\text{возд}} V g$, вниз — сила тяжести гелия $m_{He} g$ и оболочки $Mg$. В равновесии:
$$\rho_{\text{возд}} V g = \rho_{He} V g + Mg$$
Плотности из уравнения Менделеева — Клапейрона: $\rho = \frac{p\mu}{RT}$. Подставляем:
$$\frac{p(\mu_{\text{возд}} - \mu_{He})}{RT} \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 = M$$
Находим радиус $R$, затем делим массу оболочки на площадь $S = 4\pi R^2$. После сокращений:
$$\frac{M}{S} = \frac{p(\mu_{\text{возд}} - \mu_{He}) \cdot R}{3RT}$$
Подставляя $R \approx 4{,}8 \text{ м}$:
$$\frac{M}{S} = \frac{10^5 \cdot 0{,}025 \cdot 4{,}8}{3 \cdot 8{,}31 \cdot 273} \approx 1{,}75 \text{ кг/м}^2$$
1,75