Решение
Дано:
$\nu = 1 \text{ моль}$ (один моль идеального одноатомного газа)
Три процесса на pV-диаграмме: $1 \to 2$, $1 \to 3$, $1 \to 4$
Найти:
Все верные утверждения
Решение:
Работа газа равна площади под графиком на pV-диаграмме. По рисунку (масштаб: ось p — условные единицы, ось V — условные единицы):
Работа на участке $1 \to 2$ (трапеция, основания 1 и 3, высота 1):
$$A_{12} = \frac{(1+3)}{2} \cdot 1 = 2 \text{ у.е.}$$
Работа на участке $1 \to 3$ (трапеция, основания 1 и 3, высота 2):
$$A_{13} = \frac{(1+3)}{2} \cdot 2 = 4 \text{ у.е.}$$
Работа на участке $1 \to 4$ (трапеция, основания 1 и 2, высота 2):
$$A_{14} = \frac{(1+2)}{2} \cdot 2 = 3 \text{ у.е.}$$
Минимальная работа на участке $1 \to 2$. Утверждение 1 верно.
Изменение внутренней энергии пропорционально изменению температуры. Температура в точках определяется из уравнения Менделеева–Клапейрона $T = \frac{pV}{\nu R}$:
$$T_2 \propto p_2 V_2 = 3 \cdot 2 = 6; \quad T_3 \propto p_3 V_3 = 3 \cdot 3 = 9; \quad T_4 \propto p_4 V_4 = 2 \cdot 3 = 6; \quad T_1 \propto p_1 V_1 = 1 \cdot 1 = 1$$
Наибольшее изменение температуры — на участке $1 \to 3$: $\Delta T_{13} \propto 9 - 1 = 8$. Утверждение 2 неверно (говорит о $1 \to 2$, но максимум на $1 \to 3$).
Утверждение 3: $\Delta U_{12}$ и $\Delta U_{14}$. Так как $T_2 = T_4$ (оба $\propto 6$), $\Delta U_{12} = \Delta U_{14}$. Утверждение 3 неверно (говорит, что $\Delta U_{12} \gt \Delta U_{14}$).
Количество теплоты по первому началу $Q = \Delta U + A$:
$$Q_{12} = \frac{3}{2}(p_2 V_2 - p_1 V_1) + A_{12} = \frac{3}{2}(6-1) + 2 = \frac{15}{2} + 2 = 9{,}5 \text{ у.е.}$$
$$Q_{14} = \frac{3}{2}(p_4 V_4 - p_1 V_1) + A_{14} = \frac{3}{2}(6-1) + 3 = \frac{15}{2} + 3 = 10{,}5 \text{ у.е.}$$
Утверждение 4 ($Q_{12} = Q_{14}$) неверно.
$$Q_{13} = \frac{3}{2}(9-1) + 4 = 12 + 4 = 16 \text{ у.е.}$$
$Q_{13} = 16$ — максимальное. Утверждение 5 верно.
