Решение
Дано:
$A_{12} = 1000 \text{ Дж}, \quad Q_x = 3370 \text{ Дж}$, одноатомный газ.
Найти:
$|A_{31}|$ — ?
Решение:
На адиабате $Q_{31} = 0$, поэтому из первого начала термодинамики:
$$A_{31} = -\Delta U_{31}$$
Для одноатомного газа $\Delta U = \frac{3}{2} \nu R \Delta T$. Заменяем через $pV$ по уравнению Менделеева–Клапейрона:
$$\Delta U_{31} = \frac{3}{2}(p_0 V_0 - p_3 \cdot 2V_0)$$
Нахождение $p_0 V_0$: на участке 1→2 — прямая пропорциональность $p \propto V$ (прямая через начало координат). Работа равна площади трапеции:
$$A_{12} = \frac{p_0 + 2p_0}{2} \cdot V_0 = \frac{3}{2} p_0 V_0$$
$$p_0 V_0 = \frac{A_{12}}{1{,}5} = \frac{1000}{1{,}5}$$
Нахождение $p_3 \cdot 2V_0$: на участке 2→3 изохора ($V = 2V_0$), работа нуля, поэтому $Q_{23} = \Delta U_{23}$. Так как $Q_{23}$ отрицательная (холодильник), $|Q_{23}| = Q_x$:
$$Q_x = \frac{3}{2}(p_2 \cdot 2V_0 - p_3 \cdot 2V_0)$$
Из прямой пропорциональности $p_2 = 2p_0$, поэтому $p_2 \cdot 2V_0 = 4p_0 V_0$:
$$Q_x = \frac{3}{2}(4p_0 V_0 - p_3 \cdot 2V_0)$$
$$p_3 \cdot 2V_0 = 4p_0 V_0 - \frac{2}{3} Q_x$$
Собираем:
$$A_{31} = -\Delta U_{31} = -\frac{3}{2}\left(p_0 V_0 - p_3 \cdot 2V_0\right)$$
$$= -\frac{3}{2}\left(\frac{A_{12}}{1{,}5} - 4p_0 V_0 + \frac{2}{3}Q_x\right)$$
$$= -\frac{3}{2}\left(\frac{A_{12}}{1{,}5} - 4 \cdot \frac{A_{12}}{1{,}5} + \frac{2}{3}Q_x\right)$$
$$= -\frac{3}{2}\left(-3 \cdot \frac{A_{12}}{1{,}5} + \frac{2}{3}Q_x\right)$$
$$= 3A_{12} - Q_x$$
Подставляем числа:
$$|A_{31}| = |3 \cdot 1000 - 3370| = |3000 - 3370| = 370 \text{ Дж}$$
