Дано:

p_1 = 3 \cdot 10^5 \text{ Па}, \quad V_1 = 1 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3, \quad p_2 = 1 \cdot 10^5 \text{ Па}, \quad V_2 = 4 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3

Найти:

V при T_{\max}

Решение:

По уравнению состояния идеального газа pV = \nu RT, температура максимальна при максимальном произведении pV.

Уравнение прямой, проходящей через точки (V_1, p_1) и (V_2, p_2):

\frac{p - p_1}{p_2 - p_1} = \frac{V - V_1}{V_2 - V_1}

Выражаем p(V):

p = p_1 + \frac{p_2 - p_1}{V_2 - V_1}(V - V_1)

Произведение:

pV = p_1 V + \frac{p_2 - p_1}{V_2 - V_1}(V - V_1)V

Функция f(V) = pV является квадратичной по V (парабола, ветви вниз, так как p_2 - p_1 \lt 0). Экстремум находим через производную:

\frac{d(pV)}{dV} = 0

p_1 + \frac{p_2 - p_1}{V_2 - V_1}(2V - V_1) = 0

Решаем:

V = \frac{p_2 V_1 - p_1 V_2}{2(p_2 - p_1)}

Подставляем числа:

V = \frac{1 \cdot 10^5 \cdot 10^{-3} - 3 \cdot 10^5 \cdot 4 \cdot 10^{-3}}{2(1 \cdot 10^5 - 3 \cdot 10^5)} = \frac{10^2 - 12 \cdot 10^2}{2 \cdot (-2 \cdot 10^5)} = \frac{-11 \cdot 10^2}{-4 \cdot 10^5} = 2{,}75 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3

V = 2{,}75 \text{ л}