МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00007723

Дано:

$p_1 = 3 \cdot 10^5 \text{ Па}, \quad V_1 = 1 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3, \quad p_2 = 1 \cdot 10^5 \text{ Па}, \quad V_2 = 4 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

Найти:

$V$ при $T_{\max}$

Решение:

По уравнению состояния идеального газа $pV = \nu RT$, температура максимальна при максимальном произведении $pV$.

Уравнение прямой, проходящей через точки $(V_1, p_1)$ и $(V_2, p_2)$:

$$\frac{p - p_1}{p_2 - p_1} = \frac{V - V_1}{V_2 - V_1}$$

Выражаем $p(V)$:

$$p = p_1 + \frac{p_2 - p_1}{V_2 - V_1}(V - V_1)$$

Произведение:

$$pV = p_1 V + \frac{p_2 - p_1}{V_2 - V_1}(V - V_1)V$$

Функция $f(V) = pV$ является квадратичной по $V$ (парабола, ветви вниз, так как $p_2 - p_1 \lt 0$). Экстремум находим через производную:

$$\frac{d(pV)}{dV} = 0$$

$$p_1 + \frac{p_2 - p_1}{V_2 - V_1}(2V - V_1) = 0$$

Решаем:

$$V = \frac{p_2 V_1 - p_1 V_2}{2(p_2 - p_1)}$$

Подставляем числа:

$$V = \frac{1 \cdot 10^5 \cdot 10^{-3} - 3 \cdot 10^5 \cdot 4 \cdot 10^{-3}}{2(1 \cdot 10^5 - 3 \cdot 10^5)} = \frac{10^2 - 12 \cdot 10^2}{2 \cdot (-2 \cdot 10^5)} = \frac{-11 \cdot 10^2}{-4 \cdot 10^5} = 2{,}75 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$$

$$V = 2{,}75 \text{ л}$$