Из рисунка видно, что размер пятна определяется размером входного отверстия.

Обозначим радиус входного отверстия объектива через R, фокусное расстояние через F, радиус допустимого пятна через h, расстояние от пленки до точки, где пересекаются лучи, через x. Из формулы тонкой линзы:

\frac{1}{d} + \frac{1}{F+x} = \frac{1}{F} \quad (1)

Из подобия треугольников:

\frac{R}{F+x} = \frac{h}{x} \quad (2)

Так как размер пятна определяется размером входного отверстия, то:

\frac{R_1}{F_1} = \frac{R_2}{F_2} \Rightarrow R_2 = R_1 \frac{F_2}{F_1}. \quad (3)

где R_1 - радиус объектива в первом случае, и F_1 - фокусное расстояние в первом случае, аналогично во втором случае R_2 - радиус объектива, и F_2 - фокусное расстояние во 2 случае.

Рассмотрим первый случай. Из (1)

\frac{1}{F_1} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{F_1 + x_1} \Rightarrow \frac{1}{F_1 + x_1} = \frac{1}{F_1} - \frac{1}{d_1}.

Где d_1 - расстояние от пятна до входного отверстия, 1-соответственно расстояние от пленки до пересечения лучей в первом случае. Тогда:

F_1 + x_1 = \frac{d_1 F_1}{d_1 - F_1} \Rightarrow x_1 = \frac{F_1^2}{d_1 - F_1} \quad (4)

Из (2)

R_1 = h \frac{F_1 + x_1}{x_1} = \frac{d_1 h}{2F_1}. \quad (5)

Рассмотрим второй случай. Из (3) находим R_2 с учетом (5)

R_2 = R_1 \frac{F_2}{F_1} = \frac{d_1 h F_2}{2F_1^2}

Из (2) находим x_2, расстояние от пленки до пересечения лучей во втором случае:

x_2 = \frac{F_2 h}{2R_2 - h} \quad (6)

Подставляем R_2 в уравнение (6):

x_2 = \frac{F_2 h}{\frac{2d_1 h F_2}{2F_1^2} - h} = \frac{F_2 F_1^2}{d_1 F_2 - F_1^2} \quad (7)

И теперь из (1) находим искомое значение d

\frac{1}{d} = \frac{1}{F} - \frac{1}{F+x} \Rightarrow d = \frac{F_2(F_2 + x_2)}{x_2}

Подставим (7) в полученное уравнение:

d = \frac{F_2(F_2 + \frac{F_2 F_1^2}{d_1 F_2 - F_1^2})}{\frac{F_2 F_1^2}{d_1 F_2 - F_1^2}} = \frac{(d_1 F_2 - F_1^2)(F_2 + \frac{F_2 F_1^2}{d_1 F_2 - F_1^2})}{F_1^2}

Раскроем скобки:

d = \frac{d_1 F_2^2 - F_2 F_1^2 + F_2 F_1^2}{F_1^2} = \frac{d_1 F_2^2}{F_1^2}

Подставим численные значения:

d = \frac{5 \cdot 25^2}{50^2} = 1,25 \text{ м}