Тонкие Линзы (нет… — Задание ЕГЭ по физике №00007565

Из рисунка видно, что размер пятна определяется размером входного отверстия.

Обозначим радиус входного отверстия объектива через $R$, фокусное расстояние через $F$, радиус допустимого пятна через $h$, расстояние от пленки до точки, где пересекаются лучи, через $x$. Из формулы тонкой линзы:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{F+x} = \frac{1}{F} \quad (1)$

Из подобия треугольников:

$\frac{R}{F+x} = \frac{h}{x} \quad (2)$

Так как размер пятна определяется размером входного отверстия, то:

$\frac{R_1}{F_1} = \frac{R_2}{F_2} \Rightarrow R_2 = R_1 \frac{F_2}{F_1}. \quad (3)$

где $R_1$ - радиус объектива в первом случае, и $F_1$ - фокусное расстояние в первом случае, аналогично во втором случае $R_2$ - радиус объектива, и $F_2$ - фокусное расстояние во 2 случае.

Рассмотрим первый случай. Из (1)

$\frac{1}{F_1} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{F_1 + x_1} \Rightarrow \frac{1}{F_1 + x_1} = \frac{1}{F_1} - \frac{1}{d_1}.$

Где $d_1$ - расстояние от пятна до входного отверстия, 1-соответственно расстояние от пленки до пересечения лучей в первом случае. Тогда:

$F_1 + x_1 = \frac{d_1 F_1}{d_1 - F_1} \Rightarrow x_1 = \frac{F_1^2}{d_1 - F_1} \quad (4)$

Из (2)

$R_1 = h \frac{F_1 + x_1}{x_1} = \frac{d_1 h}{2F_1}. \quad (5)$

Рассмотрим второй случай. Из (3) находим $R_2$ с учетом (5)

$R_2 = R_1 \frac{F_2}{F_1} = \frac{d_1 h F_2}{2F_1^2}$

Из (2) находим $x_2$, расстояние от пленки до пересечения лучей во втором случае:

$x_2 = \frac{F_2 h}{2R_2 - h} \quad (6)$

Подставляем $R_2$ в уравнение (6):

$x_2 = \frac{F_2 h}{\frac{2d_1 h F_2}{2F_1^2} - h} = \frac{F_2 F_1^2}{d_1 F_2 - F_1^2} \quad (7)$

И теперь из (1) находим искомое значение $d$

$\frac{1}{d} = \frac{1}{F} - \frac{1}{F+x} \Rightarrow d = \frac{F_2(F_2 + x_2)}{x_2}$

Подставим (7) в полученное уравнение:

$d = \frac{F_2(F_2 + \frac{F_2 F_1^2}{d_1 F_2 - F_1^2})}{\frac{F_2 F_1^2}{d_1 F_2 - F_1^2}} = \frac{(d_1 F_2 - F_1^2)(F_2 + \frac{F_2 F_1^2}{d_1 F_2 - F_1^2})}{F_1^2}$

Раскроем скобки:

$d = \frac{d_1 F_2^2 - F_2 F_1^2 + F_2 F_1^2}{F_1^2} = \frac{d_1 F_2^2}{F_1^2}$

Подставим численные значения:

$d = \frac{5 \cdot 25^2}{50^2} = 1,25 \text{ м}$