ID: 00007565
Объективы современных фотоаппаратов имеют переменное фокусное расстояние. При изменении фокусного расстояния «наводка на резкость» не сбивается. Условимся считать изображение на плёнке фотоаппарата резким, если вместо идеального изображения в виде точки на плёнке получается изображение пятна диаметром не более 0,05 мм. Поэтому если объектив находится на фокусном расстоянии от плёнки, то резкими считаются не только бесконечно удалённые предметы, но и все предметы, находящиеся дальше некоторого расстояния d. Оказалось, что это расстояние равно 5 м, если фокусное расстояние объектива 50 мм. Как изменится это расстояние, если, не меняя «относительного отверстия» изменить фокусное расстояние объектива до 25 мм? («Относительное отверстие» — это отношение фокусного расстояния к диаметру входного отверстия объектива.) При расчётах считать объектив тонкой линзой. Сделайте рисунок, поясняющий образование пятна.
Источник: ФИПИ
Из рисунка видно, что размер пятна определяется размером входного отверстия.
Обозначим радиус входного отверстия объектива через $R$, фокусное расстояние через $F$, радиус допустимого пятна через $h$, расстояние от пленки до точки, где пересекаются лучи, через $x$. Из формулы тонкой линзы:
$\frac{1}{d} + \frac{1}{F+x} = \frac{1}{F} \quad (1)$
Из подобия треугольников:
$\frac{R}{F+x} = \frac{h}{x} \quad (2)$
Так как размер пятна определяется размером входного отверстия, то:
$\frac{R_1}{F_1} = \frac{R_2}{F_2} \Rightarrow R_2 = R_1 \frac{F_2}{F_1}. \quad (3)$
где $R_1$ - радиус объектива в первом случае, и $F_1$ - фокусное расстояние в первом случае, аналогично во втором случае $R_2$ - радиус объектива, и $F_2$ - фокусное расстояние во 2 случае.
Рассмотрим первый случай. Из (1)
$\frac{1}{F_1} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{F_1 + x_1} \Rightarrow \frac{1}{F_1 + x_1} = \frac{1}{F_1} - \frac{1}{d_1}.$
Где $d_1$ - расстояние от пятна до входного отверстия, 1-соответственно расстояние от пленки до пересечения лучей в первом случае. Тогда:
$F_1 + x_1 = \frac{d_1 F_1}{d_1 - F_1} \Rightarrow x_1 = \frac{F_1^2}{d_1 - F_1} \quad (4)$
Из (2)
$R_1 = h \frac{F_1 + x_1}{x_1} = \frac{d_1 h}{2F_1}. \quad (5)$
Рассмотрим второй случай. Из (3) находим $R_2$ с учетом (5)
$R_2 = R_1 \frac{F_2}{F_1} = \frac{d_1 h F_2}{2F_1^2}$
Из (2) находим $x_2$, расстояние от пленки до пересечения лучей во втором случае:
$x_2 = \frac{F_2 h}{2R_2 - h} \quad (6)$
Подставляем $R_2$ в уравнение (6):
$x_2 = \frac{F_2 h}{\frac{2d_1 h F_2}{2F_1^2} - h} = \frac{F_2 F_1^2}{d_1 F_2 - F_1^2} \quad (7)$
И теперь из (1) находим искомое значение $d$
$\frac{1}{d} = \frac{1}{F} - \frac{1}{F+x} \Rightarrow d = \frac{F_2(F_2 + x_2)}{x_2}$
Подставим (7) в полученное уравнение:
$d = \frac{F_2(F_2 + \frac{F_2 F_1^2}{d_1 F_2 - F_1^2})}{\frac{F_2 F_1^2}{d_1 F_2 - F_1^2}} = \frac{(d_1 F_2 - F_1^2)(F_2 + \frac{F_2 F_1^2}{d_1 F_2 - F_1^2})}{F_1^2}$
Раскроем скобки:
$d = \frac{d_1 F_2^2 - F_2 F_1^2 + F_2 F_1^2}{F_1^2} = \frac{d_1 F_2^2}{F_1^2}$
Подставим численные значения:
$d = \frac{5 \cdot 25^2}{50^2} = 1,25 \text{ м}$