ID: 00007234
Равнобедренный прямоугольный треугольник ABC площадью 50 см
расположен перед тонкой собирающей линзой так, что его катет АС лежит на главной оптической оси линзы. Фокусное расстояние линзы 50 см. Вершина прямого угла С лежит дальше от центра линзы, чем вершина острого угла А. Расстояние от центра линзы до точки А равно удвоенному фокусному расстоянию линзы (см. рисунок). Постройте изображение треугольника и найдите площадь получившейся фигуры.
Источник: ФИПИ
Найдем положение точки $A'$
$\frac{1}{2F} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} \Rightarrow f = 2F.$
Здесь $f$ - расстояние от линзы до изображения точки $A$ ($A'$).
Запишем формулу тонкой линзы
$\frac{1}{2F + a} + \frac{1}{2F - x} = \frac{1}{F}$
Отсюда выражаем длину катета $A'C'$
$x = \frac{aF}{F + a} = \frac{a}{1 + aD}$
Длину $y$ вертикального катета $B'C'$ изображения находим из подобия $\triangle OC'B'$ и $\triangle OCB$:
$\frac{B'C'}{BC} = \frac{OC'}{OC}$
Или
$\frac{y}{a} = \frac{2F - x}{2F + a} \Rightarrow y = a\frac{2F - x}{2F + a} = \frac{aF}{F + a} = \frac{a}{1 + aD} = x$
Площадь
$S_1 = 1/2xy = \frac{a^2}{2(1 + aD)^2} \approx 34,72 \text{ см}^2$
34,72 $см^2$