ID: 00007230
Главная оптическая ось тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием F=20 см и точечный источник света S находятся в плоскости рисунка. Точка S находится на расстоянии b = 70 см от плоскости линзы и на расстоянии H = 5 см от ее главной оптической оси. В левой фокальной плоскости линзы находится тонкий непрозрачный экран с малым отверстием A, находящимся в плоскости рисунка на расстоянии h = 4 см от главной оптической оси линзы. На каком расстоянии x от плоскости линзы луч SA от точечного источника, пройдя через отверстие в экране и линзу, пересечёт её главную оптическую ось? Дифракцией света пренебречь. Постройте рисунок, показывающий ход луча через линзу.
Источник: ФИПИ
Построим изображение нашего источника. Размерами отверстия пренебрегаем. Для этого пустим два луча: параллельно главной оптической оси и через оптическим центром. Пунктиром обозначены лучи, которых не ”существует”. Получаем изображение $S'$
Теперь пустим луч, который идёт от источника и через точку A и преломляется в линзе в точку $S'$.
Искомое расстояние обозначено x.
1) Найдём положение точки $C$. Треугольники $SCB$ и $ACF$ подобны по двум углам, значит,
$\frac{H}{h} = \frac{BC}{CF} \Leftrightarrow \frac{H}{h} = \frac{b - F - CF}{CF}.$
С учётом, что $CF = y$
$Hy = h(b - F) - hy \Rightarrow y = \frac{h(b - F)}{h + H} = \frac{4 \text{ см} \cdot (70 \text{ см} - 20 \text{ см})}{4 \text{ см} + 5 \text{ см}} = \frac{200}{9} \text{ см}$
2) Найдём $OK$. Треугольники $CFA$ и $COK$ подобны по двум углам, значит
$\frac{y}{y + F} = \frac{h}{L} \Rightarrow L = \frac{y + F}{y}h = \frac{\frac{380}{9} \text{ см}}{\frac{200}{9} \text{ см}} 4 \text{ см} = 7,6 \text{ см}$
3) Найдём $f$ через формулу тонкой линзы
$\frac{1}{b} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} \Rightarrow f = \frac{bF}{b - F} = \frac{70 \text{ см} \cdot 20 \text{ см}}{70 \text{ см} - 20 \text{ см}} = 28 \text{ см}$
Запишем формулу увеличения линзы:
$\Gamma = \frac{z}{H} = \frac{f}{b} \Rightarrow z = H \frac{f}{b} = 5 \text{ см} \frac{28 \text{ см}}{70 \text{ см}} = 2 \text{ см}$
Нашли расстояние $z$.
4) Треугольники $OKN$ и $B'C'N$ подобны по двум углам, тогда
$\frac{L}{z} = \frac{x}{x - f} \Rightarrow Lx - Lf = zx \Rightarrow x = \frac{Lf}{L - z} = \frac{7,6 \text{ см} \cdot 28 \text{ см}}{7,6 \text{ см} - 2 \text{ см}} = 38 \text{ см}$
38 см