ID: 00006565
На дне бассейна с водой глубиной Н = 1,8 м находится небольшая лампочка. На поверхности воды плавает круглый плот — так, что центр плота находится точно над лампочкой. Определите минимальный радиус плота, при котором свет от лампочки не выходит из воды. Сделайте рисунок, поясняющий решение. Толщиной плота пренебречь. Показатель преломления воды n=4/3. Ответ дайте в метрах.
Источник: ФИПИ
Свет переходит из воды в воздух, поэтому угол преломления $\beta$ больше угла падения света на поверхность воды а. Радиус светлого пятна на поверхности бассейна определяется по максимально возможному углу падения $a_m$: ему соответствует угол преломления $\beta = \frac{π}{2}$ (при больших углах падения не существует преломлённого луча — наблюдается полное внутреннее отражение, $а_m$ — предельный угол полного внутреннего отражения).
Радиус светлого пятна связан с глубиной бассейна (см. рис.):
$R = H \cdot \operatorname{tg}\alpha_m = H \cdot \sin\alpha_m / \sqrt{1 - \sin^2\alpha_m}.$
Чтобы светлого пятна не было видно, минимальный радиус плота должен быть равен радиусу светлого пятна.
По закону преломления $\sin\alpha_m = 1/n$.
Окончательно получим:
$R = H / \sqrt{n^2 - 1} = 1{,}8 / \sqrt{\frac{16}{9} - 1} \sim 2\text{м}$
$R \sim 2\text{ м}$