ID: 00006558
Небольшой груз, подвешенный на нити длиной 2,5 м, совершает гармонические колебания, при которых его максимальная скорость достигает 0,2 м/с. При помощи собирающей линзы с фокусным расстоянием 0,2 м изображение колеблющегося груза проецируется на экран, расположенный на расстоянии 0,5 м от линзы. Главная оптическая ось линзы перпендикулярна плоскости колебаний маятника и плоскости экрана. Определите максимальное смещение изображения груза на экране от положения равновесия.
Источник: ФИПИ
При колебаниях маятника максимальная скорость груза и может быть определена из закона сохранения энергии:
$\frac{mv^2}{2} = mgh$,
где $h = l(1 - \cos\alpha) = 2l \cdot \sin^2\frac{\alpha}{2} \sim \frac{l\alpha^2}{2}$ — максимальная высота подъёма груза. Максимальный угол отклонения $\alpha \sim \frac{A}{l}$, где $A$ — амплитуда колебаний (амплитуда смещения). Отсюда
$A = V\sqrt{\frac{l}{g}}$.
Амплитуда $A_1$ колебаний смещения изображения груза на экране, расположенном на расстоянии $b$ от плоскости тонкой линзы, пропорциональна амплитуде $A$ колебаний груза, движущегося на расстоянии $a$ от плоскости линзы:
$AA_1 = A \cdot \frac{b}{a}$
Расстояние $a$ определяется по формуле тонкой линзы:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$,
откуда
$a = b \cdot \frac{F}{b - F}, \quad \text{и} \quad \frac{b}{a} = \frac{b}{F} - 1$.
Следовательно,
$A_1 = A \cdot \frac{b}{a} = V\sqrt{\frac{l}{g}} \cdot \frac{b}{F}, \quad A_1 = V\sqrt{\frac{l}{g}} \left( \frac{b}{F} - 1 \right)$.
0,15