ID: 00006558
Небольшой груз, подвешенный на нити длиной 2,5 м, совершает гармонические колебания, при которых его максимальная скорость достигает 0,2 м/с. При помощи собирающей линзы с фокусным расстоянием 0,2 м изображение колеблющегося груза проецируется на экран, расположенный на расстоянии 0,5 м от линзы. Главная оптическая ось линзы перпендикулярна плоскости колебаний маятника и плоскости экрана. Определите максимальное смещение изображения груза на экране от положения равновесия.
Источник: ФИПИ
При колебаниях маятника максимальная скорость груза и может быть определена из закона сохранения энергии:
\frac{mv^2}{2} = mgh,
где h = l(1 - \cos\alpha) = 2l \cdot \sin^2\frac{\alpha}{2} \sim \frac{l\alpha^2}{2} — максимальная высота подъёма груза. Максимальный угол отклонения \alpha \sim \frac{A}{l}, где A — амплитуда колебаний (амплитуда смещения). Отсюда
A = V\sqrt{\frac{l}{g}}.
Амплитуда A_1 колебаний смещения изображения груза на экране, расположенном на расстоянии b от плоскости тонкой линзы, пропорциональна амплитуде A колебаний груза, движущегося на расстоянии a от плоскости линзы:
AA_1 = A \cdot \frac{b}{a}
Расстояние a определяется по формуле тонкой линзы:
\frac{1}{F} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b},
откуда
a = b \cdot \frac{F}{b - F}, \quad \text{и} \quad \frac{b}{a} = \frac{b}{F} - 1.
Следовательно,
A_1 = A \cdot \frac{b}{a} = V\sqrt{\frac{l}{g}} \cdot \frac{b}{F}, \quad A_1 = V\sqrt{\frac{l}{g}} \left( \frac{b}{F} - 1 \right).
0,15