Решение
Дано:
$T_{\text{энергии}} = 1 \text{ с}, \quad m \to 4m, \quad k \to 4k$
Найти:
$T'_{\text{энергии}}$ — ?
Решение:
Период колебаний пружинного маятника определяется формулой:
$$T_{\text{маятника}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$
При одновременном увеличении массы и жёсткости в 4 раза:
$$T'_{\text{маятника}} = 2\pi\sqrt{\frac{4m}{4k}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = T_{\text{маятника}}$$
Период колебания маятника не изменяется.
Важный факт: потенциальная (и кинетическая) энергия маятника совершает колебания в два раза быстрее, чем сам маятник:
$$T_{\text{энергии}} = \frac{T_{\text{маятника}}}{2}$$
Значит, период колебания маятника изначально был:
$$T_{\text{маятника}} = 2 \cdot T_{\text{энергии}} = 2 \cdot 1 = 2 \text{ с}$$
После изменения параметров $T_{\text{маятника}}$ не изменился, следовательно:
$$T'_{\text{энергии}} = \frac{T_{\text{маятника}}}{2} = \frac{2}{2} = 1 \text{ с}$$
Итог: период колебаний потенциальной энергии остался равным 1 с.