ID: 00005632
В вертикальном цилиндре с гладкими стенками, открытом сверху, под тяжёлым поршнем с площадью основания S находится одноатомный идеальный газ. В первоначальном состоянии поршень покоится на высоте h, опираясь на выступы на внутренней стороне стенок цилиндра (см. рис. а). Давление газа p0 равно внешнему атмосферному. Газу сообщили количество теплоты Q, и в результате медленного расширения газа нижняя сторона поршня оказалась на высоте Н (см. рис. б). Чему равна масса поршня М? Тепловыми потерями пренебречь.
Источник: ФИПИ
$p_0,\; Q,\; h,\; H,\; S,\; g$
$M$
1. Давление при подъёме поршня (равновесие):
$$p_2 = p_0 + \frac{Mg}{S}$$
2. Теплота изохорного участка ($V = Sh = \mathrm{const}$, $\Delta p = \frac{Mg}{S}$):
$$Q_1 = \frac{3}{2}\Delta p \cdot V = \frac{3}{2}\frac{Mg}{S}\cdot Sh = \frac{3}{2}Mgh$$
3. Теплота изобарного участка ($p = p_2$, $\Delta V = S(H-h)$):
$$Q_2 = \frac{5}{2}p_2 S(H-h) = \frac{5}{2}p_0 S(H-h) + \frac{5}{2}Mg(H-h)$$
4. Суммарная теплота:
$$Q = Q_1 + Q_2 = \frac{3}{2}Mgh + \frac{5}{2}Mg(H-h) + \frac{5}{2}p_0 S(H-h)$$
$$Q - \frac{5}{2}p_0 S(H-h) = Mg\!\left(\frac{5}{2}H - h\right)$$
$$M = \frac{Q - \dfrac{5}{2}p_0 S(H-h)}{g\!\left(\dfrac{5}{2}H - h\right)}$$
$M= \frac{Q+\frac{5}{2}P_0S(h-H)}{g(\frac{5}{2}H-h)}$