ID: 00005607
Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов U = 174 В, попадает в магнитное поле шириной h = 4 см, направленное перпендикулярно плоскости движения. Найдите минимальный модуль магнитной индукции, при которой он протон не сможет пройти поле. Силой тяжести можно пренебречь.
Источник: ФИПИ
При прохождении через ускоряющую разность потенциалов электрическое поле совершают работу над частицей, при этом частица приобретает кинетическую энергию:
A = E_{\text{кин}}
Здесь A = qU - работа электрического поля, E_{\text{кин}} = \frac{mv^2}{2} - кинетическая энергия частицы в момент попадания в магнитное поле.
qU = \frac{mv^2}{2}
Откуда квадрат скорости равен:
v^2 = \frac{2qU}{m}
Скорость же равна:
v = \sqrt{\frac{2qU}{m}}
В магнитном поле частица совершит движение по полуокружности с радиусом R.
В магнитном поле на частицу действует сила Лоренца, равная F_l = qvB \sin \alpha = qvB, угол \alpha = 90^{\circ}, при этом движение будет осуществляться по дуге окружности с центростремительным ускорением:
a = \frac{v^2}{R}.
Запишем второй закона Ньютона:
F_l = ma \Leftrightarrow qvB = \frac{mv^2}{R}
Подставим квадрат скорости:
q\sqrt{\frac{2qU}{m}}B = \frac{m \cdot 2qU}{Rm}
Сократим величины и возведем в квадрат:
\frac{2qUB^2}{m} = \frac{4U^2}{R^2}
Выразим отсюда модуль магнитной индукции:
B = \sqrt{\frac{2Um}{qR^2}}
Чтобы протон не смог преодолеть магнитное поле, необходимо чтобы радиус траектории R был меньше, чем ширина магнитного поля h. Рассмотрим предельный случай, когда R = h, и вычислим для него модуль магнитной индукции:
B = \sqrt{\frac{2Um}{qh^2}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 174 \cdot 1,673 \cdot 10^{-27}}{1,6 \cdot 10^{-19} \cdot 0,04^2}} \approx 47,7 \cdot 10^{-3} \text{ Тл} = 47,7 \text{ мТл}
0,1 Тл