Магнетизм

Задание №25. Электродинамика. Высокий Уровень Сложности

№2. Задание 25

ID: 00005607

Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов U = 174 В, попадает в полосу магнитного поля шириной h = 1,9 см, направленного перпендикулярно плоскости движения. Протон влетает перпендикулярно границе полосы. Найдите минимальный модуль магнитной индукции, при котором протон не сможет пройти полосу поля насквозь. Силой тяжести можно пренебречь.

Рисунок к заданию 25 ЕГЭ по физике — Магнетизм

Источник: ФИПИ

Решение

Сначала протон разгоняется электрическим полем. Работа поля над зарядом равна $$A = qU$$ , и вся она превращается в кинетическую энергию протона:

$qU = \dfrac{mv^2}{2}$

Отсюда скорость, с которой протон влетает в полосу поля:

$v = \sqrt{\dfrac{2qU}{m}}$

Подставим $q = 1{,}6 \cdot 10^{-19}$ Кл, $$U = 174$$ В, $m = 1{,}67 \cdot 10^{-27}$ кг:

$v = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 174}{1{,}67 \cdot 10^{-27}}} = \sqrt{3{,}33 \cdot 10^{10}} \approx 1{,}83 \cdot 10^{5}$ м/с

Рисунок к заданию 25 ЕГЭ по физике — Магнетизм

В полосе поля на протон действует сила Лоренца. Скорость перпендикулярна линиям индукции, поэтому $$F = qvB$$ , и эта сила всё время перпендикулярна скорости — значит, она только поворачивает протон, не меняя модуля скорости. Траектория внутри полосы — дуга окружности.

Запишем второй закон Ньютона для движения по окружности радиуса $$R$$ :

$qvB = \dfrac{mv^2}{R} \;\Rightarrow\; R = \dfrac{mv}{qB}$

Теперь самое главное — насколько глубоко протон заходит в полосу. Он влетает перпендикулярно границе, поэтому центр окружности лежит прямо на границе полосы. Значит, самая дальняя от границы точка траектории удалена от неё ровно на радиус $$R$$ : глубже протон не проникнет, он развернётся и выйдет обратно через ту же границу.

Протон не пройдёт полосу насквозь, если эта глубина не больше ширины полосы:

$R \le h$

Чем больше индукция, тем меньше радиус, поэтому минимальной индукции отвечает предельный случай $$R = h$$ :

$B_{min} = \dfrac{mv}{qh}$

Считаем: числитель $1{,}67 \cdot 10^{-27} \cdot 1{,}83 \cdot 10^{5} \approx 3{,}06 \cdot 10^{-22}$ , знаменатель $1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 0{,}019 = 3{,}04 \cdot 10^{-21}$ .

$B_{min} = \dfrac{3{,}06 \cdot 10^{-22}}{3{,}04 \cdot 10^{-21}} \approx 0{,}1$ Тл

Тот же результат можно получить одной формулой, подставив скорость сразу: $B_{min} = \dfrac{1}{h}\sqrt{\dfrac{2Um}{q}} = \dfrac{1}{0{,}019}\sqrt{\dfrac{2 \cdot 174 \cdot 1{,}67 \cdot 10^{-27}}{1{,}6 \cdot 10^{-19}}} \approx 0{,}1$ Тл

Ответ

0,1 Тл

Другие задания по теме «Магнетизм» (8)