Решение
Дано:
$\alpha_1 = 90°$ (к направлению начального движения)
$\alpha_2 = 30°$ (к направлению начального движения)
$v_1 = 40 \text{ м/с}$
$v_2 = 20 \text{ м/с}$
Найти:
$\dfrac{m_2}{m_1}$
Решение:
До взрыва граната движется со скоростью $\vec{v}_0$, направленной, например, вдоль оси $x$. Импульс системы до взрыва:
$$\vec{p}_0 = (m_1 + m_2)\vec{v}_0$$
При взрыве внешние силы пренебрежимо малы, поэтому суммарный импульс сохраняется.
Запишем проекцию закона сохранения импульса на ось $y$ (перпендикулярно начальному движению):
$$0 = m_1 v_1 \sin(90°) - m_2 v_2 \sin\alpha_2$$
(первый осколок летит под $90°$ к $x$, значит он целиком движется по оси $y$; второй осколок летит под $30°$ к $x$, его проекция на $y$ равна $-m_2 v_2 \sin 30°$)
$$m_1 v_1 = m_2 v_2 \sin 30°$$
Нет, уточним. Угол первого осколка $90°$ к начальному направлению — весь его импульс по оси $y$: $p_{1y} = m_1 v_1$. Угол второго осколка $30°$ к начальному направлению — проекция на $y$: $p_{2y} = m_2 v_2 \sin 30°$, и эти проекции должны быть равны и противоположны (исходный импульс по $y$ = 0):
$$m_1 v_1 = m_2 v_2 \sin 30°$$
$$\frac{m_2}{m_1} = \frac{v_1}{v_2 \sin 30°} = \frac{40}{20 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{40}{10} = 4$$