ID: 00005344
На гладкой горизонтальной поверхности стола покоится горка с двумя вершинами, высоты которых h и 5/2h (см. рисунок). На правой вершине горки находится шайба. От незначительного толчка шайба и горка приходят в движение, причём шайба движется влево, не отрываясь от гладкой поверхности горки, а поступательно движущаяся горка не отрывается от стола. Скорость шайбы на левой вершине горки оказалась равной v.
Найдите отношение масс шайбы и горки.
Какие законы Вы используете для описания взаимодействия горки и тела? Обоснуйте их применение к данному случаю.
Источник: ФИПИ
Шайба соскальзывает с одной вершины горки на другую, а сама горка при этом откатывается по гладкому столу. Поверхности гладкие, поэтому сохраняется и горизонтальный импульс системы, и механическая энергия. Из них найдём отношение масс.
Сохранение импульса. Вначале всё покоится, поэтому в любой момент $m v_{ш}+M V_{г}=0$. Когда шайба на левой вершине, она движется горизонтально со скоростью $v$ (по условию), поэтому $m v=M V_г$, то есть $V_г=\dfrac{m v}{M}$.
Сохранение энергии. Шайба опустилась с высоты $\dfrac{5}{2}h$ до $h$, то есть на $\dfrac{3}{2}h$: $mg\dfrac{3h}{2}=\dfrac{m v^2}{2}+\dfrac{M V_г^2}{2}$. Подставив $V_г$: $3gh=v^2\left(1+\dfrac{m}{M}\right)$, откуда $\dfrac{m}{M}=\dfrac{3gh}{v^2}-1$.
$\frac{m}{M} = \frac{3gh}{V^2} - 1$