ID: 00005327
Небольшой брусок массой m = 1 кг начинает соскальзывать с высоты H по гладкой горке, переходящей в мёртвую петлю (см. рис.). Определите высоту горки H, если на высоте h = 2,5 м от нижней точки петли брусок давит на её стенку с силой F = 5 Н, радиус окружности R = 2 м. Сделайте рисунок с указанием сил, поясняющий решение.
Какие законы Вы использовали для описания движения бруска? Обоснуйте их применимость к данному случаю.
Источник: ФИПИ
$m = 1\ \text{кг}$, $h = 2{,}5\ \text{м}$, $F = 5\ \text{Н}$, $R = 2\ \text{м}$, $g = 10\ \text{м/с}^2$
$H$
По третьему закону Ньютона сила реакции опоры на брусок $N = F = 5\ \text{Н}$.
Шаг 1.
Второй закон Ньютона для бруска в точке на высоте $h$ (центростремительное ускорение направлено к центру):
$$N + mg\cos\alpha = \frac{mv^2}{R}$$
где $\cos\alpha = \frac{h - R}{R}$ (из геометрии: высота центра петли от дна — $R$, тогда прилежащий катет $= h - R$, гипотенуза $= R$):
$$N + mg \cdot \frac{h - R}{R} = \frac{mv^2}{R}$$
$$v^2 = \frac{R}{m}\left(N + mg \cdot \frac{h-R}{R}\right) = \frac{2}{1}\left(5 + 1 \cdot 10 \cdot \frac{0{,}5}{2}\right) = 2(5 + 2{,}5) = 15\ \text{м}^2/\text{с}^2$$
Шаг 2.
Закон сохранения энергии (горка гладкая, от точки старта до точки на петле):
$$mgH = \frac{mv^2}{2} + mgh$$
$$H = \frac{v^2}{2g} + h = \frac{15}{20} + 2{,}5 = 0{,}75 + 2{,}5 = 3{,}25\ \text{м}$$
3,25