ID: 00005184
К потолку на трех нерастяжимых вертикальных нитях подвешена в горизонтальном положении за углы легкая платформа в форме равностороннего треугольника ABC(см. рис., вид сверху). В центре платформы, в точке О, лежит маленький грузик массой m = 600 г, и система находится в равновесии. Затем грузик переместили из точки О в точку О' вдоль высоты АD треугольника, опущенной из угла А на сторону ВС.
Перемещение грузика равно 1/3 от длины l этой высоты. На сколько после этого изменилась в равновесии (по сравнению с исходным состоянием) сила T натяжения нити, прикрепленной к платформе в точке А?
Источник: ФИПИ
$m = 0{,}6$ кг, $g = 10$ м/с², равносторонний треугольник ABC, высота $AD = L$, смещение грузика $\Delta s = \frac{L}{3}$ вдоль AD; центр масс равностороннего треугольника делит медиану в отношении 2:1 от вершины
$\Delta T_A = T_{A2} - T_{A1}$
Рассматриваем задачу в проекции на плоскость платформы, используя уравнение моментов сил относительно точки D (основание высоты AD на стороне BC).
Нити у точек B и C симметричны относительно высоты AD, их моменты относительно D компенсируют друг друга.
Случай 1 — грузик в центре O:
Центр масс равностороннего треугольника находится на медиане AD на расстоянии $\frac{L}{3}$ от D (одна треть высоты от основания).
Уравнение моментов относительно D:
$$T_{A1} \cdot L = mg \cdot \frac{L}{3}$$
$$T_{A1} = \frac{mg}{3} = \frac{0{,}6 \cdot 10}{3} = 2 \text{ Н}$$
Случай 2 — грузик в точке O', сдвинутой на L/3 от O:
Новое плечо силы тяжести от точки D: $\frac{L}{3} + \frac{L}{3} = \frac{2L}{3}$
Уравнение моментов относительно D:
$$T_{A2} \cdot L = mg \cdot \frac{2L}{3}$$
$$T_{A2} = \frac{2mg}{3} = \frac{2 \cdot 0{,}6 \cdot 10}{3} = 4 \text{ Н}$$
Изменение натяжения:
$$\Delta T_A = T_{A2} - T_{A1} = 4 - 2 = 2 \text{ Н}$$
2