ID: 00005183
К концам легкого стержня длиной l, лежащего на клиновидной опоре, установленной на расстоянии l/3 от его левого конца, подвешены на невесомых нитях два тяжелых груза 1 и 2 с плотностями 1 (слева) и 2 (справа). Стержень находится в равновесии в горизонтальном положении (см. рис.). Затем, опустив точку опоры стержня, грузы полностью погрузили в стаканы с жидкостями — водой слева и керосином справа, и при этом равновесие стержня сохранилось.
Чему равно отношение плотностей грузов ρ_2/ρ_1? Какие законы Вы использовали для решения этой задачи? Обоснуйте их применимость к данному случаю.
Источник: ФИПИ
лёгкий стержень длиной l на опоре в точке l/3 от левого конца
слева груз плотностью \rho_1, справа — \rho_2
\rho_{\text{в}} = 1000 кг/м³ (вода, слева), \rho_{\text{к}} = 800 кг/м³ (керосин, справа)
стержень в равновесии и в воздухе, и в жидкостях
\dfrac{\rho_2}{\rho_1} — отношение плотностей грузов
Стержень — это рычаг на опоре. Чтобы он не поворачивался, моменты грузов с двух сторон должны уравновешивать друг друга. Опора стоит ближе к левому концу: левое плечо равно l/3, правое — 2l/3. В воздухе:
M_1 g \cdot \frac{l}{3} = M_2 g \cdot \frac{2l}{3}.
Сокращаем общие множители g и l/3 и получаем связь масс:
M_1 = 2 M_2.
Теперь грузы опустили в жидкости. На каждый, кроме силы тяжести, действует выталкивающая сила Архимеда, поэтому нить тянет уже слабее:
T_1 = M_1 g - \rho_{\text{в}} g V_1, \qquad T_2 = M_2 g - \rho_{\text{к}} g V_2.
Равновесие сохранилось, значит снова приравниваем моменты этих натяжений и сокращаем g и l/3:
M_1 - \rho_{\text{в}} V_1 = 2(M_2 - \rho_{\text{к}} V_2).
Выразим массы через плотности и объёмы: M_1 = \rho_1 V_1, M_2 = \rho_2 V_2. Подставив и используя связь \rho_1 V_1 = 2 \rho_2 V_2, получаем:
\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{\rho_2 - \rho_{\text{к}}}{\rho_1 - \rho_{\text{в}}}.
Раскрываем крест-накрест — слагаемые \rho_1\rho_2 сокращаются, и остаётся красивый результат:
\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{\rho_{\text{к}}}{\rho_{\text{в}}} = \frac{800}{1000} = 0{,}8.
Ответ: 0,8