ID: 00005183
К концам легкого стержня длиной l, лежащего на клиновидной опоре, установленной на расстоянии l/3 от его левого конца, подвешены на невесомых нитях два тяжелых груза 1 и 2 с плотностями 1 (слева) и 2 (справа). Стержень находится в равновесии в горизонтальном положении (см. рис.). Затем, опустив точку опоры стержня, грузы полностью погрузили в стаканы с жидкостями — водой слева и керосином справа, и при этом равновесие стержня сохранилось.
Чему равно отношение плотностей грузов $ρ_2/ρ_1$? Какие законы Вы использовали для решения этой задачи? Обоснуйте их применимость к данному случаю.
Источник: ФИПИ
лёгкий стержень длиной $l$ на опоре в точке $l/3$ от левого конца
слева груз плотностью $\rho_1$, справа — $\rho_2$
$\rho_{\text{в}} = 1000$ кг/м³ (вода, слева), $\rho_{\text{к}} = 800$ кг/м³ (керосин, справа)
стержень в равновесии и в воздухе, и в жидкостях
$\dfrac{\rho_2}{\rho_1}$ — отношение плотностей грузов
Стержень — это рычаг на опоре. Чтобы он не поворачивался, моменты грузов с двух сторон должны уравновешивать друг друга. Опора стоит ближе к левому концу: левое плечо равно $l/3$, правое — $2l/3$. В воздухе:
$$M_1 g \cdot \frac{l}{3} = M_2 g \cdot \frac{2l}{3}.$$
Сокращаем общие множители $g$ и $l/3$ и получаем связь масс:
$$M_1 = 2 M_2.$$
Теперь грузы опустили в жидкости. На каждый, кроме силы тяжести, действует выталкивающая сила Архимеда, поэтому нить тянет уже слабее:
$$T_1 = M_1 g - \rho_{\text{в}} g V_1, \qquad T_2 = M_2 g - \rho_{\text{к}} g V_2.$$
Равновесие сохранилось, значит снова приравниваем моменты этих натяжений и сокращаем $g$ и $l/3$:
$$M_1 - \rho_{\text{в}} V_1 = 2(M_2 - \rho_{\text{к}} V_2).$$
Выразим массы через плотности и объёмы: $M_1 = \rho_1 V_1$, $M_2 = \rho_2 V_2$. Подставив и используя связь $\rho_1 V_1 = 2 \rho_2 V_2$, получаем:
$$\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{\rho_2 - \rho_{\text{к}}}{\rho_1 - \rho_{\text{в}}}.$$
Раскрываем крест-накрест — слагаемые $\rho_1\rho_2$ сокращаются, и остаётся красивый результат:
$$\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{\rho_{\text{к}}}{\rho_{\text{в}}} = \frac{800}{1000} = 0{,}8.$$
Ответ: 0,8