Статика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00005183

Дано:

лёгкий стержень длиной $l$ на опоре в точке $l/3$ от левого конца
слева груз плотностью $\rho_1$, справа — $\rho_2$
$\rho_{\text{в}} = 1000$ кг/м³ (вода, слева), $\rho_{\text{к}} = 800$ кг/м³ (керосин, справа)
стержень в равновесии и в воздухе, и в жидкостях

Найти:

$\dfrac{\rho_2}{\rho_1}$ — отношение плотностей грузов

Решение:

Стержень — это рычаг на опоре. Чтобы он не поворачивался, моменты грузов с двух сторон должны уравновешивать друг друга. Опора стоит ближе к левому концу: левое плечо равно $l/3$, правое — $2l/3$. В воздухе:

$$M_1 g \cdot \frac{l}{3} = M_2 g \cdot \frac{2l}{3}.$$

Сокращаем общие множители $g$ и $l/3$ и получаем связь масс:

$$M_1 = 2 M_2.$$

Теперь грузы опустили в жидкости. На каждый, кроме силы тяжести, действует выталкивающая сила Архимеда, поэтому нить тянет уже слабее:

$$T_1 = M_1 g - \rho_{\text{в}} g V_1, \qquad T_2 = M_2 g - \rho_{\text{к}} g V_2.$$

Равновесие сохранилось, значит снова приравниваем моменты этих натяжений и сокращаем $g$ и $l/3$:

$$M_1 - \rho_{\text{в}} V_1 = 2(M_2 - \rho_{\text{к}} V_2).$$

Выразим массы через плотности и объёмы: $M_1 = \rho_1 V_1$, $M_2 = \rho_2 V_2$. Подставив и используя связь $\rho_1 V_1 = 2 \rho_2 V_2$, получаем:

$$\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{\rho_2 - \rho_{\text{к}}}{\rho_1 - \rho_{\text{в}}}.$$

Раскрываем крест-накрест — слагаемые $\rho_1\rho_2$ сокращаются, и остаётся красивый результат:

$$\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{\rho_{\text{к}}}{\rho_{\text{в}}} = \frac{800}{1000} = 0{,}8.$$