ID: 00005148
В стакан налита вода, а поверх неё — керосин. Однородный шар плавает, погружённый в обе жидкости. При этом четверть объёма шара находится в воде. Найдите плотность материала шара.
Источник: Основная волна ЕГЭ 2026 (Центр)
Шар плавает, поэтому он в равновесии: суммарная выталкивающая сила равна его весу. Выталкивает шар сразу две жидкости — керосин сверху и вода снизу. Запишем условие равновесия:
$$\rho_к g V_к+\rho_в g V_в=\rho g V,$$
где $\rho$ — искомая плотность шара, $V$ — его полный объём, $V_к$ и $V_в$ — объёмы частей в керосине и в воде, $\rho_к=800\ \text{кг/м}^3$, $\rho_в=1000\ \text{кг/м}^3$.
По условию в воде четверть шара, $V_в=\frac{1}{4}V$, значит в керосине три четверти, $V_к=\frac{3}{4}V$. Сократив $g$ и $V$, получим:
$$\rho=\frac{3}{4}\rho_к+\frac{1}{4}\rho_в.$$
Подставим числа: $\rho=\dfrac{3\cdot800+1000}{4}=\dfrac{3400}{4}=850\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}.$
1. На шар действуют сила Архимеда в виде двух слагаемых (FA1 за счёт керосина FA2 за счёт воды) и сила тяжести.
2. Так как шар находится в равновесии, то
$F_{A1}$ + $F_{A2}$ = mg, то есть
$ρ_кg$ 3/4V + $ρ_вg$*1/4V = mg, (1)
m = ρV. (2)
3. Объединив уравнения (1) и (2), получим:
ρ = 3/4$ρ_к$ + 1/4$ρ_в$ = 3/4 800 + 1/4 1000 = 850 $кг/м^3$.
Ответ: ρ = 850 $кг/м^3$.