Решение
Дано:
$m = 1 \text{ кг}, \quad \alpha = 30°, \quad \mu = 0{,}2, \quad g = 10 \text{ м/с}^2$
Найти:
$F$ — ?
Решение:
Рассматриваем силы, действующие на брусок (неподвижен):
- $mg$ — вниз;
- $N'$ — реакция доски, вверх;
- $f_{\text{тр}}$ — сила трения со стороны доски, вправо (доска движется вправо, тащит брусок);
- $T$ — натяжение нити, вдоль нити (влево и вверх).
Проекция на ось $y$ (вертикаль):
$$N' + T \cos\alpha - mg = 0 \implies N' = mg - T \cos\alpha \quad (1)$$
Проекция на ось $x$ (горизонталь):
$$f_{\text{тр}} - T \sin\alpha = 0 \implies f_{\text{тр}} = T \sin\alpha \quad (2)$$
Из (2): $T = f_{\text{тр}} / \sin\alpha$.
Закон Кулона–Амонтона:
$$f_{\text{тр}} = \mu N'$$
Подставляем $N'$ из (1) и $T$ из (2):
$$f_{\text{тр}} = \mu \left(mg - \frac{f_{\text{тр}}}{\sin\alpha} \cos\alpha\right) = \mu \left(mg - f_{\text{тр}} \cot\alpha\right)$$
$$f_{\text{тр}} (1 + \mu \cot\alpha) = \mu mg$$
$$f_{\text{тр}} = \frac{\mu mg}{1 + \mu \cot\alpha}$$
По третьему закону Ньютона сила трения доски о брусок равна силе трения бруска о доску, значит $F = f_{\text{тр}}$ (из уравнения для доски: $F = f_{\text{тр}}$).
$$F = \frac{\mu mg}{1 + \mu \cot 30°} = \frac{0{,}2 \cdot 1 \cdot 10}{1 + 0{,}2 \cdot \sqrt{3}} = \frac{2}{1 + 0{,}346} \approx 1{,}5 \text{ Н}$$
