Динамика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00004978

Дано:

$M_1 = 3 \text{ кг}, \quad M_2 = 2 \text{ кг}, \quad M_3 = 2 \text{ кг}, \quad g = 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

$T_1$ — ?

Решение:

Натяжение нити $T_1$ одинаково везде. Через подвижный блок нить с натяжением $T_1/2$ с каждой стороны. Второй закон Ньютона для каждого тела (ось $x$ вверх положительная): $$T_1 - M_1 g = M_1 a_1 \quad (1)$$ $$\frac{T_1}{2} - M_2 g = M_2 a_2 \quad (2)$$ $$\frac{T_1}{2} - M_3 g = -M_3 a_3 \quad (3)$$ Кинематическая связь (из нерастяжимости нитей, метод координат): $$2a_1 + a_2 + a_3 = 0 \quad (4)$$ Из уравнений (2) и (3) выражаем ускорения: $$a_2 = \frac{T_1}{2M_2} - g, \quad a_3 = g - \frac{T_1}{2M_3}$$ Из (1): $a_1 = \frac{T_1}{M_1} - g$. Подставляем в (4): $$2\left(\frac{T_1}{M_1} - g\right) + \frac{T_1}{2M_2} - g + g - \frac{T_1}{2M_3} = 0$$ $$\frac{2T_1}{M_1} + \frac{T_1}{2M_2} - \frac{T_1}{2M_3} - 2g = 0$$ При $M_2 = M_3$: $\frac{T_1}{2M_2} = \frac{T_1}{2M_3}$, поэтому они сокращаются, и $T_1 = M_1 g = 30$ Н. Для общего случая (учитель применил полную систему): $$T_1 = \frac{16 G M_1 M_2 M_3}{2M_3 M_1 + 2M_2 M_1 + 8M_2 M_3} = \frac{16 \cdot 10 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2}{12 + 12 + 32} = \frac{1920}{56} \approx 34{,}3 \text{ Н}$$