ID: 00004931
По неподвижной гладкой наклонной плоскости с углом α = 30° движутся два одинаковых бруска массой m = 0,25 кг каждый, скреплённые между собой лёгкой пружиной с жёсткостью k = 100 Н/м. Верхний брусок соединён невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через идеальный блок, с грузом массой М = 2 кг.
Чему равна длина пружины l в нерастянутом состоянии, если при движении брусков её длина постоянна и равна L = 15 см? Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на тела.
Обоснуйте применимость используемых законов к решению задачи. Округлите до сотых. Ответ дайте в метрах.
Источник: ФИПИ
Два бруска, скреплённых пружиной, и груз на нити движутся как одна система с общим ускорением (длина пружины постоянна — значит бруски не движутся друг относительно друга). Сначала найдём ускорение системы, потом по равновесию одного бруска — силу в пружине и её растяжение.
Ускорение системы. Груз $M$ тянет вниз, два бруска ползут вверх по гладкому склону. Для всей системы $Mg-2mg\sin\alpha=(M+2m)a$: $a=\dfrac{2\cdot10-2\cdot0{,}25\cdot10\cdot0{,}5}{2+0{,}5}=\dfrac{17{,}5}{2{,}5}=7\ \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.
Сила в пружине (нижний брусок). На нижний брусок действует только пружина (вверх по склону) и тяжесть: $F_{пр}-mg\sin\alpha=m a$, $F_{пр}=m(a+g\sin\alpha)=0{,}25(7+5)=3$ Н.
Натуральная длина. Растяжение $\Delta=\dfrac{F_{пр}}{k}=\dfrac{3}{100}=0{,}03$ м. Длина пружины $L=l+\Delta$, поэтому $l=L-\Delta=0{,}15-0{,}03=0{,}12$ м.
$l=0{,}12$ м