ID: 00004927
В начале астрономического исследования Солнечной системы в 1766 г. немецким физиком И. Тициусом было сформулировано правило, приблизительно описывающее расстояния планет от Солнца. В 1781 г. после открытия Урана, большая полуось орбиты которого точно соответствовала этому правилу, И. Э. Боде предположил о возможности существования пятой от Солнца планеты между орбитами Марса и Юпитера на расстоянии 2,8 а. е. от нашего светила, которая и до сих пор не была обнаружена. Вместо неё образовался пояс астероидов, которые не смогли «слипнуться» в планету из-за влияния тяготения массивного Юпитера. Каков был бы период обращения этой несостоявшейся планеты вокруг Солнца в земных годах? 1 а. е. = 150 млн. км — среднее расстояние от Земли до Солнца. Орбиты планет можно считать окружностями, лежащими в одной плоскости, с центром в Солнце. Ответ округлить до десятых
Источник: ФИПИ
$R_{\text{пл}} = 2{,}8\text{ а.е.}$, $R_{\oplus} = 1\text{ а.е.}$, $T_{\oplus} = 1\text{ год}$
$T_{\text{пл}}$
Выведем третий закон Кеплера из закона всемирного тяготения. Для планеты на круговой орбите сила тяготения обеспечивает центростремительное ускорение:
$$\frac{GM_{\odot}m}{R^2} = m\omega^2 R = m\cdot\frac{4\pi^2}{T^2}\cdot R$$
После сокращения масс и перегруппировки:
$$\frac{R^3}{T^2} = \frac{GM_{\odot}}{4\pi^2} = \text{const}$$
Эта постоянная одинакова для всех планет Солнечной системы. Составим пропорцию для Земли и несостоявшейся планеты:
$$\frac{R_{\oplus}^3}{T_{\oplus}^2} = \frac{R_{\text{пл}}^3}{T_{\text{пл}}^2}$$
Откуда:
$$T_{\text{пл}} = T_{\oplus}\left(\frac{R_{\text{пл}}}{R_{\oplus}}\right)^{3/2} = 1\cdot(2{,}8)^{3/2}$$
$$T_{\text{пл}} = \sqrt{2{,}8^3} = \sqrt{21{,}952} \approx 4{,}7\text{ лет}$$
$T_{\text{пл}} \approx 4{,}7\text{ лет}$.
4,7